Ejercicio 1: (4 puntos) a) Justificar la verdad o falsedad de la siguiente implicación: “Si )(xf es continua en ],[ ba y )()( bfaf = ⇒ 0)('/),( =∈∃...

a) Justificar la verdad o falsedad de la siguiente implicación: “Si )(xf es continua en ],[ ba y )()( bfaf = ⇒ 0)('/),( =∈∃ cfbac ”

La proposición es falsa. La proposición es incorrecta porque la función f(x) = x^2 es continua en [-1, 1] y f(-1) = f(1) = 1, pero no existe un punto c en [-1, 1] tal que f'(c) = 0.

b) ¿Cuál es la diferencia entre mínimo absoluto y mínimo relativo de una función?

El mínimo absoluto de una función es el valor más pequeño que la función toma en su dominio. El mínimo relativo de una función es el valor más pequeño que la función toma en un subconjunto acotado de su dominio. En otras palabras, el mínimo absoluto de una función es el mínimo global de la función, mientras que el mínimo relativo de una función es el mínimo local de la función.

c) Enunciar y demostrar el Teorema del valor medio del Cálculo Diferencial (Teorema de Lagrange).

El Teorema del valor medio del Cálculo Diferencial (Teorema de Lagrange) establece que para toda función f(x) continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), existe un punto c en (a, b) tal que:

f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)

En otras palabras, el Teorema del valor medio establece que la derivada de una función en un punto es igual al cambio de la función en ese punto dividido por el cambio de la variable independiente.

La demostración del Teorema del valor medio se puede hacer usando el concepto de función diferenciable. Si f(x) es diferenciable en (a, b), entonces existe una función g(x) que es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) tal que:

f(x) = g(x) + h(x)

donde h(x) es una función que es cero en a y b. Por lo tanto, tenemos que:

(f(b) - f(a)) = (g(b) - g(a)) + (h(b) - h(a))

Como g(x) es continua en [a, b], entonces g(b) - g(a) = 0. Por lo tanto, tenemos que:

(f(b) - f(a)) = (h(b) - h(a))

Como h(x) es diferenciable en (a, b), entonces h'(c) = (h(b) - h(a))/(b - a) para algún punto c en (a, b). Por lo tanto, tenemos que:

f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)

d) Definir función cóncava hacia abajo en un intervalo. ¿Cómo es )(xf ′′ en ese intervalo?

Una función f(x) es cóncava hacia abajo en un intervalo [a, b] si f''(x) < 0 para todo x en [a, b]. En otras palabras, una función f(x) es cóncava hacia abajo en un intervalo si su gráfica está curvada hacia abajo en ese intervalo.

La segunda derivada de una función es una medida de la concavidad de la función. Si la segunda derivada es negativa, entonces la función es cóncava hacia abajo. Si la segunda derivada es positiva, entonces la función es cóncava hacia arriba. Si la segunda derivada es cero, entonces la función es plana.