3. (4p) Una compañía fabrica dos productos, P1 y P2. Los ingresos unitarios son $2 y $3, respectivamente. Las disponibilidades diarias de dos materias primas, M1 y M2, utilizadas en la fabricación de los dos productos son de 8 y 18 unidades, respectivamente. Una unidad de A utiliza 2 unidades de M1 y 3 unidades de M2, y una unidad de B utiliza 2 unidades de M1 y 6 unidades de M2.
a) Plantee un PPL que resuelva la cantidad de producto diario que hay que producir de cada tipo para maximizar los ingresos. (0.5p)
b) Resuélvelo usando el método gráfico. (0.5p)
c) Resuélvelo utilizando el método símplex tabular. (1p)
d) Utilizando exclusivamente la tabla simplex de la solución óptima, determina el precio dual de M1 y el intervalo de factibilidad del precio dual de M1. ¿Qué significan el precio dual y su intervalo? (1p)
e) Utilizando exclusivamente la tabla simplex de la solución óptima, ¿cómo cambia el óptimo si se duplican las disponibilidades diarias de las dos materias primas? (1p)

SOLUCIÓN
a)
max???? = 2????1 + 3????2
sujeto a
2????1 + 2????2 ≤ 8
3????1 + 6????2 ≤ 18
b) El óptimo es (2,2)
c) La forma algebraica es
???? − 2????1 − 3????2 = 0
2????1 + 2????2 + ????3 = 8
3????1 + 6????2 + ????4 = 18

La solución inicial es ????1 = ????2 = 0, ????3 = 8, ????4 = 18. Y la tabla queda

It Variables básicas Ec
Coeficiente de… Lado
derecho Cociente Z x1 x2 x3 x4
0
Z (0) 1 -2 -3 0 0 0
x3 (1) 0 2 2 1 0 8 4.00
x4 (2) 0 3 6 0 1 18 3.00
1
Z (0) 1 -0.5 0 0 0.5 9
x3 (1) 0 1 0 1 -0.333 2 2
x2 (2) 0 0.5 1 0 0.167 3 6
2
Z (0) 1 0 0 0.5 0.333 10
x1 (1) 0 1 0 1 -0.333 2
x2 (2) 0 0 1 -0.5 0.333 2 5
d) Los precios duales pueden verse en los coeficientes del renglón (0) de las variables de holgura ????3 y ????4. Son ????1 = 0.5 y ????2 = 0.333. Estos precios nos dicen la tasa a la que cambia la función objetivo si aumenta el recurso en una unidad. La función objetivo puede escribirse como ???? = 10 + 0.5????1 + 0.333????2, donde ????1 y ????2 son incrementos en la cantidad de materia prima M1 y M2, respectivamente-, es decir, la nueva cantidad de recurso sería ????????∗ = ???????? + ???????? . Una unidad más de la materia prima M1 aumenta los ingresos unitarios en 0.5 dólares, mientras que si lo hace la materia prima M2 los ingresos aumentan en 0.333 dólares. A partir de los coeficientes de las columnas de las variables de holgura de la solución (matriz inversa) podemos escribir las siguientes restricciones de no negatividad (factibilidad) que indica la región (simultánea) en la que los precios duales son válidos: ????1 = 2 + ????1 − 0.333????2 ≥ 0 ????2 = 2 − 0.5????1 + 0.33????2 ≥ 0
Para calcular los intervalos individuales de ????1 planteamos que el recurso 2 no cambia pero el recurso 1 sí. Si ????2 = 0 tenemos que 2 + ????1 ≥ 0 ⇒ ????1 ≥ −2 ⇒ ????1∗ ≥ 8 − 2 = 6 2 − 0.5????1 ≥ 0 ⇒ ????1 ≤ 4 ⇒ ????1∗ ≤ 8 + 4 = 12 ⇒ 4 ≤ ????1∗ ≤ 12
e) La nueva solución óptima será:
� 1 −0.333−0.5 0.333 � �
16
36� = �
4
4�
que es factible, por lo que no es necesario realizar cálculos adicionales. La función objetivo pasa a valer 20. 6