Halla el área de la región sombreada (P y Q: puntos de tangencia). a) 4,5 u2 b) 4 u2 c) 5,5 u2 d) 7,5 u2 e) 2 u2

La respuesta es a) 4,5 u2.

El área de la región sombreada es igual a la suma del área del sector circular y el área del triángulo.

El área del sector circular es:

A_s = \frac{r^2 \theta}{2 \pi}

Donde r es el radio de la circunferencia y θ es el ángulo central del sector.

En este caso, r = 3 u y θ = 60°.

A_s = \frac{3^2 \cdot 60}{2 \pi} = \frac{90}{2 \pi}

El área del triángulo es:

A_t = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}

Por lo tanto, el área de la región sombreada es:

A = A_s + A_t
A = \frac{90}{2 \pi} + \frac{9}{2}
A \approx 4,5 u2

Otra forma de resolverlo es dividir la región sombreada en dos triángulos equiláteros, como se muestra a continuación:

[Imagen de dos triángulos equiláteros]

Cada triángulo tiene un área de √3/4 * 3^2 = 9/4. Por lo tanto, el área de la región sombreada es 2 * 9/4 = 9/2 = 4,5 u2.

Por lo tanto, la respuesta es a).