7. ¿Cuántos números naturales de 13 d́ıgitos son múltiplos de 128 y cumplen que cada uno de sus d́ıgitos es 2 ó 7?

Para que un número natural de 13 dígitos sea múltiplo de 128, debe terminar en 00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80 o 88.

Si el número termina en 00, entonces los 12 primeros dígitos pueden ser cualquier combinación de 2 y 7. Hay 2^12 = 4096 combinaciones posibles.

Si el número termina en 08, entonces los 12 primeros dígitos pueden ser cualquier combinación de 2 y 7, excepto las que terminan en 00. Hay 2^12 - 1 = 4095 combinaciones posibles.

Si el número termina en 16, entonces los 12 primeros dígitos pueden ser cualquier combinación de 2 y 7, excepto las que terminan en 00 o 08. Hay 2^12 - 2 = 4094 combinaciones posibles.

Y así sucesivamente.

En total, hay 4096 + 4095 + 4094 + ... + 2 + 1 = 2^13 - 1 = 8191 combinaciones posibles.

Por lo tanto, la respuesta es 8191.

Otra forma de resolverlo es:

El número de combinaciones posibles es 2^13, porque cada dígito puede ser 2 o 7.

Sin embargo, las combinaciones que terminan en 00, 08, 16, ..., 80 no son válidas, porque no son múltiplos de 128.

La cantidad de combinaciones no válidas es igual a la cantidad de combinaciones que terminan en 0.

La cantidad de combinaciones que terminan en 0 es igual a la cantidad de combinaciones que terminan en 00, 08, 16, ..., 80.

Por lo tanto, la cantidad de combinaciones válidas es 2^13 - 2^12 = 8191.

El resultado es el mismo.