1 a) (0.25 pontos) Justifica que el campo vectorial F(x,y) = ( 1 2 log(x2 + y2),−arc tg y x ) es conservativo en el abierto Ω = {(x,y) : x > 0}.

Un campo vectorial F es conservativo en un abierto Ω si existe una función escalar φ tal que F = ∇φ. En este caso,

F(x,y) = ( 1 2 log(x2 + y2),−arc tg y x )

Podemos escribir el primer componente como

1 2 log(x2 + y2) = −1 2 log(1 − x2 y2)

De esta manera,

F(x,y) = (−1 2 log(1 − x2 y2),−arc tg y x )

Si definimos la función escalar φ como

φ(x,y) = −1 2 log(1 − x2 y2) − arc tg y x + K

donde K es una constante arbitraria, entonces

F = ∇φ

Por lo tanto, el campo vectorial F es conservativo en el abierto Ω.

Alternativa

Podemos probar que el campo vectorial F es conservativo en el abierto Ω utilizando el teorema de Green. El teorema de Green establece que si F es un campo vectorial conservativo en un abierto Ω, entonces

∫_C F · dr = 0

para cualquier curva cerrada C en Ω.

En este caso, el campo vectorial F es

F(x,y) = ( 1 2 log(x2 + y2),−arc tg y x )

Si tomamos la curva C como un círculo de radio r centrado en el origen, entonces

∫_C F · dr = 0

Por lo tanto, el campo vectorial F es conservativo en el abierto Ω.