B.3. (2 pontos) Se consideran las siguientes funciones reales de variable real: f(x) = −x3 + 2x2 + 4x, g(x) = 4x a) Determine los intervalos de cre...

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x), debemos calcular su derivada.

f'(x) = −3x(x - 1)

f'(x) = 0 para x = 0, 1.

f'(x) es positiva para x < 0 y x > 1.

f'(x) es negativa para 0 < x < 1.

Por lo tanto, f(x) es creciente para x < 0 y x > 1, y decreciente para 0 < x < 1.

Intervalos de crecimiento:

• (-∞, 0)
• (1, ∞)

Intervalos de decrecimiento:

• (0, 1)

b) Área de la región acotada

Para calcular el área de la región acotada, debemos encontrar las intersecciones de las gráficas de f(x) y g(x).

Las intersecciones se producen en los puntos x = 0, x = 1 y x = 1/3.

f(0) = 0
f(1) = 6
f(1/3) = 13/9

La gráfica de f(x) se encuentra por encima de la gráfica de g(x) en los intervalos (-∞, 0) y (1, ∞).

Por lo tanto, el área de la región acotada es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos.

A1 = (1/2)(0)(0) = 0
A2 = (1/2)(1)(6) = 3
A3 = (1/2)(1/3)(13/9) = 13/18
A = A1 + A2 + A3 = 3 + 13/18 = 25/6

Respuesta:

• Intervalos de crecimiento:(-∞, 0)
• (1, ∞)
• Intervalos de decrecimiento:(0, 1)
• Área de la región acotada:25/6