A. 3. a) Planteamiento: 0.25 puntos. Resolución: 0.25 puntos. b) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolución: 0.25 por cada punto correcto. c) Planteam...

A. 3.

a) Planteamiento:

El enunciado plantea un problema de geometría analítica que involucra vectores. La tarea es encontrar el área del triángulo que tiene como vértices los puntos (1, 2), (3, 4) y (0, 0).

b) Resolución:

Para resolver el problema, podemos utilizar el producto vectorial de los vectores que unen dos vértices del triángulo. El área del triángulo es igual al módulo del producto vectorial dividido por dos.

En este caso, los vectores que unen dos vértices del triángulo son:

v1 = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)
v2 = (0 - 1, 0 - 2) = (-1, -2)

El producto vectorial de v1 y v2 es:

v1 \times v2 = (2 \times -2) - (2 \times -1) = -4 + 2 = -2

El área del triángulo es:

|v1 \times v2| / 2 = |-2| / 2 = 1

Por lo tanto, el área del triángulo es 1.

c) Planteamiento:

El enunciado plantea un problema de geometría analítica que involucra vectores. La tarea es encontrar el volumen del tetraedro que tiene como vértices los puntos (1, 2, 3), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y (1, 0, 0).

Resolución:

Para resolver el problema, podemos utilizar el producto mixto de tres vectores. El volumen del tetraedro es igual al módulo del producto mixto dividido por seis.

En este caso, los vectores que unen dos vértices del tetraedro son:

v1 = (1, 2, 3)
v2 = (0, 1, 0)
v3 = (0, 0, 1)

El producto mixto de v1, v2 y v3 es:

v1 \cdot (v2 \times v3) = (1 \times 0) - (2 \times 1) + (3 \times 0) = -2

El volumen del tetraedro es:

|v1 \cdot (v2 \times v3)| / 6 = |-2| / 6 = -1/3

Por lo tanto, el volumen del tetraedro es -1/3.

Criterio de corrección:

a) Planteamiento:

La respuesta debe incluir la siguiente información:

• Una definición de un triángulo.
• Una explicación de cómo se calcula el área de un triángulo.

b) Resolución:

La respuesta debe incluir la siguiente información:

• Una explicación de cómo se utiliza el producto vectorial para calcular el área de un triángulo.
• Una explicación de cómo se utiliza el módulo de un vector.

c) Planteamiento:

La respuesta debe incluir la siguiente información:

• Una definición de un tetraedro.
• Una explicación de cómo se calcula el volumen de un tetraedro.

Evaluación:

La respuesta se evaluará de acuerdo con los criterios de corrección establecidos. Se penalizará la falta de justificación razonada o de precisión. Se valorará las estrategias, razonamientos y toma adecuada de decisiones.

Ejemplos de respuestas correctas:

a) Planteamiento:

Un triángulo es una figura geométrica plana que tiene tres vértices y tres lados. El área de un triángulo se calcula dividiendo el producto de la base por la altura por dos.

b) Resolución:

El producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a los dos vectores. El área de un triángulo es igual al módulo del producto vectorial dividido por dos.

En este caso, los vectores que unen dos vértices del triángulo son v1 y v2. El producto vectorial de v1 y v2 es un vector que apunta hacia el interior del triángulo. El módulo del producto vectorial es igual al área del triángulo.

c) Planteamiento:

Un tetraedro es una figura geométrica espacial que tiene cuatro vértices y seis caras. El volumen de un tetraedro se calcula dividiendo el producto de la base por la altura por seis.

Resolución:

El producto mixto de tres vectores es un escalar. El volumen de un tetra