Ejercicio A2. (Calificación máxima: 2,5 puntos) Sea la función a) Estudie la continuad de f(x) en R. b) ¿Es f(x) derivable en x=0? Justifique la re...

Solución:

a)

La función f(x) es continua en R, ya que el límite de la función en cualquier punto x es igual al valor de la función en ese punto.

b)

La función f(x) es derivable en x=0, ya que la derivada de la función existe en x=0 y es igual a cero.

c)

La función f(x) tiene una asíntota horizontal en y=1, ya que la función tiende a 1 cuando x tiende a infinito o a -infinito.

La función f(x) no tiene asíntotas verticales, ya que el denominador de la función no es igual a cero para ningún valor de x.

d)

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en un punto x es igual a f'(x).

Para x ∈ (0,∞), la pendiente de la recta tangente es nula cuando x = 1.

El punto de la gráfica de f(x) en el que la pendiente de la recta tangente es nula es (1,1), y la ecuación de la recta tangente en dicho punto es y - 1 = 0, es decir, y = 1.

En el punto (1,1), la función f(x) alcanza un máximo relativo, ya que la pendiente de la recta tangente es positiva por la izquierda y negativa por la derecha.

Respuesta:

a)

La función f(x) es continua en R.

b)

La función f(x) es derivable en x=0.

c)

La función f(x) tiene una asíntota horizontal en y=1.

La función f(x) no tiene asíntotas verticales.

d)

El punto de la gráfica de f(x) en el que la pendiente de la recta tangente es nula es (1,1), y la ecuación de la recta tangente en dicho punto es y = 1.

En el punto (1,1), la función f(x) alcanza un máximo relativo.