A. 1.
a) La matriz es invertible si su determinante es distinto de 0. El determinante de la matriz dada es:
| 2 - 1 | | 1 2 | = 3 - 2 = 1
Por lo tanto, la matriz es invertible para ! ≠ 2.
b) Si ! = 0, la matriz se convierte en:
| 0 - 1 | | 0 2 | = -2
La inversa de esta matriz es:
| 2 1 | | 1 0 |
A. 2.
a) La región . es el conjunto de todos los puntos (2, /) que cumplen la desigualdad:
22 + /2 ≤ 16
Esta desigualdad se puede resolver de la siguiente manera:
(2 + /)(2 - /) ≤ 0
Por lo tanto, la región . está formada por los puntos (2, /) tales que 2 + / ≤ 0 o 2 - / ≥ 0.
Los vértices de la región . son:
b) El máximo de la función f(2, /) se alcanza en el punto A, donde f(2, /) = 16.
A. 3.
a) La función f(2) = 22 + 3/2 es una función cuadrática con vértice en el punto (2, 3/2).
b) La integral de la función f(2) = 22 + 3/2 en el intervalo [2, 3] es:
∫ 223(2)62# = 1′22
A. 4.
a) La probabilidad de que un punto aleatorio (2, /) pertenezca a la región . es 1/2.
b) La probabilidad de que un punto aleatorio (2, /) pertenezca al rectángulo [0, 1] × [0, 2] es 2/4 = 1/2.
A. 5.
a) La probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 42,9 y 45,1 es 95%.
b) El tamaño muestral mínimo debe ser de 62 estudiantes.
B. 1.
a) El sistema de ecuaciones dado es compatible determinado si ! ≠ 1.
Si ! = 1, el sistema se convierte en:
2 = 2 / = 1 ; = 1
Este sistema tiene infinitas soluciones, por lo que no es compatible determinado.
Si ! ≠ 1, el sistema tiene una única solución, que es:
2 = !/(! - 1) / = 1 ; = 1
b) Si ! = −2, las soluciones del sistema son:
2 = 2 / = 1 ; = 1
B. 2.
a) El dominio de la función f(2) = (2 - 1)/(2 + 3) es ℝ − {1,−3}.
La función es continua en todo su dominio, por lo que tiene asíntotas horizontal y vertical.
La asíntota horizontal es / = 0, ya que f(2) tiende a 0 cuando 2 tiende a −∞ o a ∞.
La asíntota vertical es x = 1, ya que f(2) tiende a +∞ cuando 2 tiende a 1 y a −∞ cuando 2 tiende a −3.
No hay asíntotas oblicuas.
b) La función
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