A. 2. (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera la función real de variable real f (x) definida por f (x) = ax2 + bx + c a) Obtenga los coeficie...

Solución:

a)

La función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = −3. Esto significa que la derivada de la función en ese punto es igual a cero.

f ′(x) = 2ax + b
f ′(−3) = 0
2a(−3) + b = 0
−6a + b = 0

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto de abscisa x = 0 es y = 6x + 8. La pendiente de esta recta es 6.

m = 6
m = f ′(0)
f ′(0) = 6
2a(0) + b = 6
b = 6

Combinando las dos ecuaciones, obtenemos:

−6a + 6 = 0
−6a = −6
a = 1

Por lo tanto, los coeficientes reales de f (x) son a = 1, b = 6 y c = 6.

b)

Para a = 2, b = 1 y c = 1, la integral es:

∫ e 1 (2x2 + x + 1) x dx
= ∫ e 1 (2x2 + x) x dx + ∫ e 1 dx
= ∫ e 1 (2x3/3 + x2/2) dx + ∫ e 1 dx
= (2x4/12 + x3/6) | e 1 | + e 1 | e 1 |
= x4/6 + x3/12 + e 1 | e 1 |
= x4/6 + x3/12 + e2
= x4/6 + x3/12 + 7

Respuesta:

• a = 1, b = 6 y c = 6
• x4/6 + x3/12 + 7