Dada la función f(x) = x6 − 4x4, se pide: a) (0.5 puntos) Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) (1 punto) Encontrar sus máxi...

Solución:

a)

La función f(x) = x6 − 4x4 es una función polinomial de grado 6. Las funciones polinomiales de grado par son crecientes en los intervalos donde la segunda derivada es positiva y decrecientes en los intervalos donde la segunda derivada es negativa.

La segunda derivada de f(x) es:

f ′′(x) = 12x2(x − 2)

f ′′(x) = 0 para x = 0, 2.

f ′′(x) > 0 para 0 < x < 2.

f ′′(x) < 0 para x < 0 o x > 2.

Por lo tanto, la función f(x) es creciente en el intervalo (0, 2) y decreciente en los intervalos (−∞, 0) y (2, ∞).

b)

Los puntos críticos de la función f(x) son los puntos donde la derivada f ′(x) es igual a cero o indefinida.

La derivada de f(x) es:

f ′(x) = 6x(x − 2)

f ′(x) = 0 para x = 0, 2.

f ′(x) está definida para todo x.

Por lo tanto, los únicos puntos críticos de la función f(x) son x = 0 y x = 2.

Para determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos locales, podemos evaluar f ′′(x) en esos puntos.

En x = 0, f ′′(0) = 0.

En x = 2, f ′′(2) = 48 > 0.

Por lo tanto, x = 2 es un mínimo local.

Como f(x) es creciente en el intervalo (0, 2), el máximo local de la función es el punto (2, 0).

c)

Para hallar el área de la región acotada por el eje y = 0 y la gráfica de f(x), podemos utilizar el siguiente método:

1. Obtener las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica de f(x) con el eje y.
2. Utilizar la fórmula de la integral definida para calcular el área de la región.

Los puntos de intersección de la gráfica de f(x) con el eje y son los puntos donde f(x) = 0.

f(x) = 0 para x = 0, 2.

Por lo tanto, los puntos de intersección de la gráfica de f(x) con el eje y son (0, 0) y (2, 0).

El área de la región acotada por el eje y = 0 y la gráfica de f(x) es:

A = ∫_0^2 f(x) dx
A = ∫_0^2 (x6 − 4x4) dx
A = x7/7 − 2x5/5 |_0^2
A = 128/7 − 16/5
A = 1104/35

Por lo tanto, el área de la región es 1104/35.

Respuestas:

a) Creciente en (0, 2) y decreciente en (−∞, 0) y (2, ∞).

b) Mínimo local en (2, 0).

c) 1104/35