A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos. Dada la función f(x) =  x− 1 x2 − 1 si x < 1, x 6= −1 x2 + 1 4x si x ≥ 1 , se pide: a) (0.5 punto...

A.2

a)

• f(0):

f(0) =

0− 1
02 − 1
si 0 < 1, 0 6= −1
02 + 1
40
si 0 ≥ 1
=

−1
1
si 0 < 1, 0 6= −1
1
4
si 0 ≥ 1
=

−1
1
si 0 < 1
1
4
si 0 ≥ 1
=
−14
= −0,25

• (f ◦ f)(0):

(f ◦ f)(x) = f(f(x))
(f ◦ f)(0) = f(f(0))
f(f(0)) = f(−0,25)
f(−0,25) =

−0,25 − 1
(−0,25)2 − 1
si −0,25 < 1, −0,25 6= −1
(−0,25)2 + 1
4(−0,25)
si −0,25 ≥ 1
=

−1,25
0,0625
si −0,25 < 1, −0,25 6= −1
0,0625
−1
si −0,25 ≥ 1
=
−1
= −1

Por lo tanto, f(0) = −0,25 y (f ◦ f)(0) = -1.

b)

Continuidad:

La función f(x) es continua en x = 1 para todos los valores de x.

Derivabilidad:

La función f(x) es derivable en x = 1 para todos los valores de x.

Extremo relativo:

La función f(x) es creciente en el intervalo (-∞, 1) y decreciente en el intervalo (1, +∞). Por lo tanto, en x = 1 existe un máximo relativo.

c)

La función f(x) tiene una asíntota vertical en x = 1.

La función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = 0.

Análisis gráfico:

Python

import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    if x < 1:
        return x - 1 / (x ** 2 - 1)
    else:
        return (x ** 2 + 1) / 4 * x

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = f(x)

plt.plot(x, y)
plt.axhline(y=0, color='black')
plt.axvline(x=1, color='black')
plt.show()

Imagen:

La gráfica de la función f(x) es una parábola con una asíntota vertical en x = 1. La parábola se cruza con la asíntota horizontal en y = 0.