a) En una muestra aleatoria simple de 10 lavadoras los consumos de agua en un lavado con este programa fueron los siguientes: 40 45 38 44 41 40 35 ...

Solución

Para construir el intervalo de confianza al 90 % para estimar el consumo medio de agua de este modelo de lavadoras con dicho programa de lavado, debemos calcular la media muestral y el error estándar de la media.

La media muestral es:

x̄ = 41,2

El error estándar de la media es:

s̄ = 2,4

Para calcular el intervalo de confianza, utilizamos la siguiente fórmula:

x̄ ± tα/2 * s̄ / √n

donde:

• x̄ es la media muestral
• tα/2 es el valor crítico de la distribución t-Student para un nivel de confianza del 90 % y un número de grados de libertad n - 1 = 10 - 1 = 9
• s̄ es el error estándar de la media
• n es el tamaño de la muestra

El valor crítico de la distribución t-Student para un nivel de confianza del 90 % y un número de grados de libertad 9 es 1,833.

Por lo tanto, el intervalo de confianza al 90 % es:

41,2 ± 1,833 * 2,4 / √10
(40,06; 42,34)

Respuesta

El intervalo de confianza al 90 % para estimar el consumo medio de agua de este modelo de lavadoras con dicho programa de lavado es (40,06; 42,34).

Explicación:

Para calcular el intervalo de confianza, utilizamos la fórmula anterior.

En primer lugar, calculamos la media muestral:

x̄ = (40 + 45 + 38 + 44 + 41 + 40 + 35 + 50 + 40 + 37) / 10 = 41,2

En segundo lugar, calculamos el error estándar de la media:

s̄ = √(∑(xi - x̄)^2 / (n - 1)) = √((40 - 41,2)^2 + (45 - 41,2)^2 + ... + (37 - 41,2)^2 / (10 - 1)) = 2,4

En tercer lugar, calculamos el valor crítico de la distribución t-Student:

tα/2 = t(0,9; 9) = 1,833

Por último, sustituimos los valores calculados en la fórmula para obtener el intervalo de confianza:

(41,2 ± 1,833 * 2,4 / √10) = (40,06; 42,34)

Por lo tanto, el intervalo de confianza al 90 % es (40,06; 42,34).

Comentarios:

• El intervalo de confianza se interpreta de la siguiente manera: con un nivel de confianza del 90 %, podemos afirmar que el consumo medio de agua de este modelo de lavadoras con dicho programa de lavado se encuentra entre 40,06 litros y 42,34 litros.
• El intervalo de confianza es más estrecho cuanto mayor sea el tamaño de la muestra. En este caso, el tamaño de la muestra es 10, por lo que el intervalo de confianza es relativamente estrecho.