Sea A = {x∈ℝ/x(x2 – 1) ≥ 0}. Representar A en la recta numérica y escribirlo como intervalo o unión de intervalos. Qual é a solução? S = (-∞; -1]...

La respuesta correcta es S = (-∞; -1] ∪ [0; 1].

Aquí está cómo analizar y representar el conjunto A:

Análisis:

1. Desarrollamos la desigualdad: x(x² - 1) ≥ 0 se convierte en x³ - x ≥ 0.
2. Factorizamos la expresión: Podemos factorizar x³ - x como x(x² - 1) = x(x + 1)(x - 1) usando la factorización por agrupamiento.
3. Analizamos los ceros y signos: La expresión se iguala a cero en x = 0, 1 y -1. Estos valores dividen el eje numérico en cuatro intervalos: (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1), y (1, ∞).
4. Evaluamos cada intervalo: Probamos un valor dentro de cada intervalo para ver si satisface la desigualdad original.

• En (-∞, -1), tomemos x = -2. Entonces, -2(-2² - 1) = -10 < 0 (la desigualdad no se cumple).
• En (-1, 0), tomemos x = -0.5. Entonces, -0.5(-0.5² - 1) = 0.25 > 0 (la desigualdad se cumple).
• En (0, 1), tomemos x = 0.5. Entonces, 0.5(0.5² - 1) = -0.25 < 0 (la desigualdad no se cumple).
• En (1, ∞), tomemos x = 2. Entonces, 2(2² - 1) = 10 > 0 (la desigualdad se cumple).

Representación y solución:

Basándonos en el análisis, la desigualdad x³ - x ≥ 0 se cumple en los intervalos cerrados [-1, 0] y [1, ∞). Sin embargo, el enunciado original especifica que x ≠ 1, por lo que el segundo intervalo debe excluir el punto 1. Por lo tanto, la representación final de A es:

A = (-∞; -1] ∪ [0; 1)

Las otras opciones son incorrectas porque:

• S = (-∞; -1) ∪ [0; 1]: Excluye el punto -1 que pertenece a A.
• S = (-∞; -1] ∪ [1; +∞): Incluye el punto 1 que no pertenece a A.
• S = (-∞; -1) ∪ [1; +∞): Excluye los puntos -1 y 1 que pertenecen a A.