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¿Cóm o justifican las ideas de Planck que la intensidad de la radiación del cuerpo negro decaiga a frecuencias altas? Planck utilizó un modelo de ...

¿Cóm o justifican las ideas de Planck que la intensidad de la radiación del cuerpo negro decaiga a frecuencias altas?

Planck utilizó un modelo de un grupo de átomos en la superficie de un objeto caliente oscilando juntos con la misma frecuencia.
La hipótesis de Planck fue que el grupo de átomos, el oscilador, debe tener una energía que se corresponde con la ecuación e = nhv.
La energía de un cuanto de radiación electromagnética es proporcional a la frecuencia de la radiación, cuanto más alta es la frecuencia, mayor es la energía.

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Justificación de la decadencia de la intensidad de la radiación del cuerpo negro a frecuencias altas según las ideas de Planck:

1. Modelo de Planck:

Planck propuso un modelo en el que la radiación del cuerpo negro se origina a partir de osciladores atómicos en la superficie del cuerpo. Estos osciladores se comportan como pequeños dipolos eléctricos que vibran con diferentes frecuencias.

2. Cuantización de la energía:

Planck postuló que la energía de cada oscilador solo puede tomar valores discretos, múltiplos de un cuanto de energía , donde h es la constante de Planck y ν es la frecuencia de la vibración.

3. Distribución de la energía:

La probabilidad de que un oscilador tenga una energía particular está dada por la distribución de Boltzmann. Esta distribución indica que, a mayor temperatura, hay una mayor probabilidad de que los osciladores tengan energías altas.

4. Decaimiento de la intensidad a frecuencias altas:

A medida que aumenta la frecuencia, la energía del cuanto también aumenta. Esto significa que, a frecuencias altas, hay una menor probabilidad de que los osciladores tengan la energía suficiente para emitir un fotón.

Consecuentemente, la intensidad de la radiación emitida por el cuerpo negro decae a frecuencias altas.

Explicación matemática:

La ley de Planck para la densidad espectral de radiancia de un cuerpo negro se expresa como:

**B(ν,T) = \frac{2hν^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{hν/kT} - 1}$$

Donde:

  • B(ν,T) es la densidad espectral de radiancia (potencia por unidad de área, unidad de frecuencia y unidad de ángulo sólido)
  • ν es la frecuencia de la radiación
  • T es la temperatura del cuerpo negro
  • h es la constante de Planck
  • c es la velocidad de la luz
  • k es la constante de Boltzmann

Al observar la ecuación, se observa que B(ν,T) es proporcional a ν^3. Esto significa que, a medida que ν aumenta, la densidad espectral de radiancia aumenta inicialmente. Sin embargo, el término e^{hν/kT} - 1 en el denominador juega un papel importante a frecuencias altas. A medida que ν aumenta, este término también aumenta exponencialmente.

En resumen, la combinación de los factores ν^3 y e^{hν/kT} en la ley de Planck da como resultado una decadencia de la intensidad de la radiación del cuerpo negro a frecuencias altas.

Las ideas de Planck fueron revolucionarias y tuvieron un impacto significativo en el desarrollo de la mecánica cuántica.



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