Las personas que compran billetes de lotería regularmente con frecuencia justifican la práctica diciendo que, a pesar de que saben que en promedio ...

Las personas que compran billetes de lotería regularmente con frecuencia justifican la práctica diciendo que, a pesar de que saben que en promedio perderán dinero, tienen la esperanza de una ganancia significativa, tras lo cual creen que dejarán de jugar. Lamentablemente, cuando las personas han perdido dinero en una cadena de perder billetes de lotería ganan algo de lo mucho que han perdido, por lo general deciden probar suerte en lugar de dejar de jugar. La forma técnica de decir que en promedio una persona pierde dinero en la lotería es decir que el valor esperado de jugar a la lotería es negativo. Suponga que los posibles resultados de un experimento o proceso aleatorio, son los números a1, a2, a3,…, an, que se producen con probabilidades p1, p2, p3,…, pn. El valor esperado del proceso es n k 1 ak pk a1 p1 a2 p2 a3 p3 an pn. Ejemplo 9.8.5 Valor esperado de de una lotería Suponga que 500 000 personas pagan 5 dólares cada uno para jugar una partida de lotería con los siguientes premios: un premio de $1 000 000, 10 segundos premios de $1 000 cada uno, 1 000 terceros premios de $500 cada uno y 10 000 cuartos premios de $10 cada uno. ¿Cuál es el valor esperado de un billete? Solución Cada uno de los 500 000 billetes de lotería tiene la misma oportunidad que cualquier otro de tener el número ganador de la lotería y así pk 1 500000 para toda k 1, 2, 3,…, 500 000. Sea a1, a2, a3,…, a500000 la ganancia neta de un billete individual, donde a1 999 995 (la ganancia neta para el billete del gran premio, que es de un millón de dólares menos el costo de $5 del billete ganador), a2 a3 a11 995 (la ganancia neta para cada uno de los 10 billetes del segundo premio), a12 a13 a1011 495 (la ganancia neta para cada uno de los 1 000 boletos del tercer premio) y a1012 a1013 a11011 5 (la ganancia neta para cada uno de los 10 000 boletos del cuarto premio). Ya que los restantes 488 989 boletos exactamente pierden sólo $5, a11012 a11013 a500000 ฀5. Por tanto, el valor esperado de un boleto es 500000 k 1 ak pk 500000 k 1 ak 1 500 000 ya que cada pk 1 500 000 1 500 000 500000 k 1 ak por el teorema 5.1.1(2) 1 500 000 (999 995 10 995 1 000 495 10 000 5 (฀5) . 488 989) 1 500 000 (999 995 9 950 495 000 50 000 ฀ 2 444 945) ฀1 78 En otras palabras, una persona que continua jugando esta lotería por mucho tiempo probablemente ganará dinero en ocasiones pero en promedio perderá $1.78 por billete. Ejemplo 9.8.6 Ruina de un jugador Un jugador apuesta repetidamente $1 que cuando se avienta una moneda saldrá una cara. Cada vez que la moneda es cara, el jugador gana $1; cada vez que sale cruz, pierde $1. El jugador dejará de jugar ya sea cuando él esté arruinado (pierde todo su dinero) o cuando tenga $M (donde M es un número positivo que ha decidido de antemano). Sea Pn la probabilidad que el jugador esté arruinado si empieza a jugar con $n. Entonces si la moneda es justa (tiene la misma posibilidad de salir cara o cruz), Pk฀1 1 2 Pk 1 2 Pk฀2 para cada entero k con 2 k M (Esto se deduce del hecho de que si el jugador tiene $(k 1), entonces tiene la misma oportunidad de ganar $1 o perder $1 y si gana $1, entonces su oportunidad de arruinarse es Pk, mientras que si pierde $1, entonces su oportunidad de arruinarse es Pk฀2.) También P0 1 (porque si tiene $0, él está seguro de arruinarse) y PM 0 (porque una vez que tiene $M, se sale y ya no hay ninguna posibilidad de arruinarse). Encuentre una fórmula explícita para Pn. ¿Cómo debe el jugador elegir m para minimizar su oportunidad de arruinarse? Solución Multiplicando ambos lados de Pk−1 = 1 2 Pk 1 2 Pk−2 por 2 y restando Pk฀2 de ambos lados se obtiene Pk 2Pk−1 Pk−2. Esta es una relación de recurrencia homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Ya que Pk 2Pk−1 Pk−2 0 su ecuación característica es t2 2t 1 0, que tiene la única raíz r 1. Así, por el teorema de una sola-raíz de la sección 5.8, Pn Crn Dnrn C Dn (ya que r 1), donde C y D se determinan por dos valores de la sucesión. Pero P0 1 y PM 0. Por tanto 1 P0 C D 0 C 1 y D 1 M y así Pn 1฀ 1 M n M M ฀ n M para cada entero n con 0 n M. Por ejemplo, un jugador que empieza con $20 y se decide salir si su total alcanza los $100 o si se arruina tiene la siguiente oportunidad de arruinarse: P20 100 20 100 80 100 80%. Observe que entre mayor sea M con respecto a n, más cercano está Pn de 1. En otras palabras, cuanto mayor sea la cantidad de dinero que el jugador establece a sí mismo como destino, lo más probable es que se arruine. Por el contrario, entre más modesto sea su objetivo, más probable es llegar a él. Autoexamen 1. Si A es un evento en un espacio muestral S, P(A) puede tomar valores entre y . Además, P(S) y P( ) . 2. Si A y B son eventos disjuntos en un espacio muestral S, P(A B) . 3. Si A es un evento en un espacio muestral S, P(Ac ) . 4. Si A y B son los eventos cualesquiera en un espacio muestral S, P(A B) . 5. Si los posibles resultados de un proceso aleatorio o experimento son números reales a1, a2,…, an, que ocurren con probabilidades p1, p2,…, pn, entonces el valor esperado del proceso es . Conjunto de ejercicios 9.8 1. En cualquier espacio muestral S, ¿qué es P( )? 2. Suponga que A, B y C son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral S, A B C S y A y B tienen probabilidades 0.3 y 0.5, respectivamente. a. ¿Qué es P(A B)? b. ¿Qué es P(C)? 3. Supongamos que A y B son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral S, C es otro evento en S, A B C S y A y B tienen probabilidades 0.4 y 0.2, respectivamente. a. ¿Qué es P(A B)? b. ¿Es posible que P(C) 0.2? Explique. 4. Suponga que A y B son eventos en un espacio muestral S con probabilidades 0.8 y 0.7, respectivamente. Suponga también que P(A B) 0.6. ¿Qué es P(A B)? 5. Suponga que A y B son eventos en un espacio muestral S y suponga que P(A) 0.6, P(B c ) 0.4, P(A B) 0.2. ¿Qué es P(A B)? 6. Suponga que U y V son eventos en un espacio muestral S y suponga que P(U c ) 0.3, P(V) 0.6 y P(U c V c ) 0.4. ¿Qué es P(U V)? 7. Suponga que un espacio muestral S consiste de tres resultados: 0, 1 y 2. Sea A {0}, B {1} y C {2} y suponga que P(A) 0.4 y P(B) 0.3. Encuentre cada una de las siguientes probabilidades: a. P(A ∪ B) b. P(C) c. P(A ∪ C) d. P(Ac) e. P(Ac ∩ Bc) f. P(Ac ∪ Bc) 8. Rehaga el ejercicio 7 suponiendo que P(A) 0.5 y P(B) 0.4. 9. Sean A y B eventos en un espacio muestral S y sea C S ฀ (A B). Sup

1. 0 e 1; 1 e 0; 2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B); 3. P(A ∪ B) = 0.6; Não, pois P(C) = 0.2 não é possível, já que P(A) + P(B) = 0.6 + 0.2 = 0.8 > 1; 4. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.8 + 0.7 - 0.6 = 0.9; 5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B c) - P(A ∩ B c) = 0.6 + 0.4 - 0.2 = 0.8; 6. P(U ∪ V) = P(U) + P(V) - P(U ∩ V) = 0.3 + 0.6 - 0.4 = 0.5; 7. a. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.4 + 0.3 - 0 = 0.7; b. P(C) = 0; c. P(A ∪ C) = P(A) + P(C) - P(A ∩ C) = 0.4 + 0 - 0 = 0.4; d. P(A c) = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6; e. P(A c ∩ B c) = P((A ∪ B) c) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0.7 = 0.3; f. P(A c ∪ B c) = P(A c) + P(B c) - P(A c ∩ B c) = 0.6 + 0.7 - 0.3 = 1; 8. a. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.5 + 0.4 - 0 = 0.9; b. P(C) = 0; c. P(A ∪ C) = P(A) + P(C) - P(A ∩ C) = 0.5 + 0 - 0 = 0.5; d. P(A c) = 1 - P(A) = 1 - 0.5 = 0.5; e. P(A c ∩ B c) = P((A ∪ B) c) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0.9 = 0.1; f. P(A c ∪ B c) = P(A c) + P(B c) - P(A c ∩ B c) = 0.5 + 0.6 - 0.1 = 1; 9. P(C) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0.9 = 0.1