Solución a. La figura 11.4.6 a) muestra rectángulos cuyas bases son los intervalos entre cada par de enteros de 1 a n y cuyas alturas son las altur...

Solución
a. La figura 11.4.6 a) muestra rectángulos cuyas bases son los intervalos entre cada par de enteros de 1 a n y cuyas alturas son las alturas de la gráfica de y 1 x arriba de los puntos extremos de los intervalos de la derecha. La figura 11.4.6 b) muestra rectángulos con las mismas bases, pero cuyas alturas son las alturas de la gráfica sobre los puntos extremos de los intervalos de la izquierda.

x

y

1 2 3 4 n – 1 n

(1, 1) Área total bajo la gráfica de 1 a n = ln n

(2, )
1
2
(3, )
1
3 (4, )
1
4 (n – 1, )
1
n – 1 (n, )
1
n
(n – 1, )
1

n – 1

x

y

1 2 3 4 n – 1 n

(1, 1)

Gráfica de y = 1
xGráfica de y = 1

x

Área total bajo la gráfica de 1 a n = ln n

(2, )
1
2
(3, )
1
3 (4, )
1
4 (n, )
1
n
a) b)

1 1

Figura 11.4.6

Ahora el área de cada rectángulo es su base por su altura. Como todos los rectángulos tienen base 1, el área de cada rectángulo es igual a su altura. Así en la figura 11.4.6 a), el área del rectángulo de 1 a 2 es 1
2
;
el área del rectángulo de 2 a 3 es 1
3
;...
el área del rectángulo de n ฀ 1 a n es 1
n
.

Así la suma de las áreas de todos los rectángulos es 1
2
1
3
1
n
. De la figura es claro que esta suma es menor que el área bajo la gráfica de f entre x 1 y x n, que es igual a ln n. Es decir,


762 Capítulo 11 Análisis de la eficiencia de un algoritmo

1
2
1
3
1
n
ln n

Un análisis similar de las áreas de los rectángulos combinados azul y gris en la figura 11.4.6b), muestra que

ln n 1
1
2
1
3
1
n
b. Suponga que n es un entero con n 3. Como e 2.718, entonces n e. La función logarítmica de base e es estrictamente creciente. Puesto que e n, entonces 1 ln e ln n.

c. Por el inciso a),
1
2
1
3
1
n
ln n

y por el inciso b),

1 ln n.

Sumando estas dos desigualdades se obtiene

1
1
2
1
3
1
n
2 ln n para cualquier entero n 3.

d. Juntando los resultados de los incisos a) y c) se llega a la conclusión de que para todos los enteros n 3,

ln n 1
1
2
1
3
1
n
2 ln n

Y como todas las cantidades son positivas para n 3,

ln n 1
1
2
1
3
1
n
2 ln n

Sean A 1, B 2 y k 3. Entonces

A ln n 1
1
2
1
3
1
n
B ln n para todo n k.

Así que por definición de notación ,

1
1
2
1
3
1
n
es ln n

Autoexamen
1. El dominio de cualquier función exponencial es y su rango
es .
2. El dominio de cualquier función logarítmica es y su ran-
go es .
3. Si k es un entero y 2k x 2k 1, entonces log2 x .
4. Si b es un número real con b 1 y si x es un número real sufi-
cientemente grande, entonces cuando las cantidades x, x2, logb x
y x logb x son arregladas en orden creciente, el resultado es .
5. Si n es un entero positivo, entonces 1 1
2
1
3
1
n tiene
orden .
Conjunto de ejercicios 11.4
Trace la gráfica de cada función definida en los ejercicios del 1 al 8.

1. f (x) 3x para todos los números reales x.

2. g x 1
3
x para todos los números reales x.

3. h(x) log10 x para todos los números reales positivos x.

4. k(x) log2 x para todos los números reales positivos x.

5. F (x) log2 x para todos los números reales positivos x.


11.4 Funciones exponenciales y logarítmicas: gráficas y órdenes 763

6. G(x) log2 x para todos los números reales positivos x.

7. H(x) x log2 x para todos los números reales positivos x.

8. K(x) x log10 x para todos los números reales positivos x.

9. La escala de la gráfica que se muestra en la figura 11.4.1 es un
cuarto de pulgada por cada unidad. Si se marca el punto (2, 264)
sobre la gráfica de y 2x, ¿a cuántas millas estará sobre el eje
horizontal? ¿Cuál es la razón de la altura del punto a la distancia
tierra-sol? (Hay 12 pulgadas por pie y 5 280 pies por milla. En
promedio, la tierra está aproximadamente a 93 000 000 millas
del sol.)

( 1
4 pulgada 0 635 cm, 1 milla 0 62 km)

10. a. Use la definición de logaritmo para demostrar que logb b
x

x para todos los números reales x.
b. Utilice la definición de logaritmo para demostrar que blogbx

x para todos los números reales positivos x.
c. Por el resultado del ejercicio 25 de la sección 7.3, si f : X

Y y g:Y X son funciones y g o f IX y f o g IY,
entonces f y g son funciones inversas. Use este resultado para
demostrar que logb y expb (la función exponencial de base b)
son funciones inversas.

11. Sea b 1.
a. Aplique el hecho de que u logb bu para demos-

trar que un punto (u, ) está sobre la gráfica de la función
logarítmica de base b si y sólo si ( , u), está sobre la gráfica
de la función exponencial de base b.

b. Dibuje varios pares de puntos de la forma (u, ) y ( , u) sobre
un sistema coordenado. Describa la relación geométrica entre
las ubicaciones de los puntos en cada par.

c. Dibuje las gráficas de y log2 x y y 2x. Describa la relación
geométrica entre esas gráficas.

12. Dé una interpretación gráfica de la propiedad (11.4.2) del ejemplo
11.4.1a) para 0 x 1.

13. Suponga que un número real positivo x satisface la desigualdad
10m x 10m 1 en donde m es un entero. ¿Qué se puede inferir
sobre log10 x ? Justifique su respuesta.

14. a. Demuestre que si x es un número real positivo y k es un entero
no-negativo tal que 2k฀1 x 2k, entonces log2x k.

b. Describa con palabras el enunciado que se demostró en el
inciso a).

15. Si n es un entero impar y n 1, es ¿ log2 (n ฀ 1) log2 (n) ?
Justifique su respuesta.

16. Si n es un entero impar y n 1, es ¿ log2 (n 1) log2 (n) ?
Justifique su respuesta.

17. Si n es un entero impar y n 1, es ¿ log2 (n 1) log2 (n) ?
Justifique su respuesta.

En los ejercicios 18 y 19 indique cuántos dígitos binarios son nece-
arios para representar los números dados en notación binaria. Use
el método que se muestra en el ejemplo 11.4.3.

18. 148 206 19. 5 067 329

H

H

H

H

H

H

H

20. En el libro se demostró que el número de dígitos binarios necesa-
rios para representar un entero positivo n es log2 n 1. ¿Esto
también se puede dar como log2 n ? ¿Por qué sí o por qué no?

En cada uno de los ejercicios 21 y 22, se especifica una sucesión por
una relación de recurrencia y condiciones iniciales. En cada caso: a)
use iteración para conjeturar una fórmula explícita para la sucesión;
b) utilice inducción matemática fuerte para confirmar la validez de
la fórmula que haya obtenido en el inciso a).

21. ak a k 2 2, para todos los enteros k 2
a1 1.

22. bk b k 2 1, para todos los enteros k 2
b1 1.

23. Se define una sucesión c1, c2, c3, , recursivamente como
sigue:

c1 0

ck 2