la bisectriz de dos conductores ideales planos que forman un ángulo de 45◦ grados (ver figura). Si la carga tie- ne una una distancia d a los condu...

la bisectriz de dos conductores ideales planos que forman un ángulo de 45◦ grados (ver figura). Si la carga tie- ne una una distancia d a los conductores, encuentre la forma del potencial electrostático entre los conductores. d d 45o Problema 5.10 X S Una carga puntual q se ha puesto a una distancia d del centro de una esfera maciza metálica. Si la esfera se encuentra conectada a tierra, determine la densidad de carga sobre la esfera y la carga total inducida en ella. R q d distancia d del centro de la esfera. El péndulo lleva en su extremo una carga puntual q de masa m que forma un ángulo φ con respecto a la horizontal. Despreciando todos los efectos de la gravedad. a) Determine el módulo de la fuerza que siente la carga. b) Considere ahora que la fuente se apaga (V0 = 0). Determine la frecuencia de pequeñas oscilaciones del péndulo si es perturbado débilmente con res- pecto a la horizontal. + R f ` V0 q,m d Problema 5.13 X En un túnel minero existe un cable que atraviesa toda su longitud, a una distancia d del techo del túnel. El túnel puede ser modelado como un cilindro infinito de radio R, de modo que el cable se mantiene siempre paralelo al eje imaginario del túnel. En cierto instante, el cable adquiere una densidad de carga lineal +λ en toda su extensión. a) Encontrar una expresión para el potencial V (r, θ) dentro del túnel, en términos de r y θ (coordena- das polares). b) Determinar la densidad de carga σ(θ) en la pared del túnel. c) ¿Cuál es la carga total por unidad de longitud inducida en la pared del túnel? d) ¿Cuál es la fuerza por unidad de largo que siente el cable? q R d las restan- tes existe un potencial contante de valor V0, tal como se indica en las Figuras. a) ¿Cuáles son las condiciones de borde del proble- ma? b) Calcule una expresión general para el potencial en- tre las placas usando el método de separación de variables. Muestre todos los casos posibles e indi- que el caso que cumplen las CB. Realice el cálculo considerando que cada lado actúa por si solo y fi- nalmente superponga las soluciones encontradas. a b + V = V0 V = V0 + V = V0 V = V0 V = 0V = 0 Problema 5.16 X Usando el método de separación de variables, calcular el potencial V (x, y) en el interior de un recinto plano como el indicado en la figura 1, con las siguientes condiciones de borde: V (0, y) = 0; V (x, 0) = 0; ∂V ∂x ∣∣∣∣ x=a = 0; ∂V ∂y ∣∣∣∣ y=b = −E0 y xa b 62 CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DE LAPLACE/POISSON Y MÉTODO DE LAS IMÁGENES II. Soluciones Solución 5.1 P X a) Se debe verificar que el potencial V (x, z) = V0e −kz cos kx, cumple la ecuación de Laplace. En efecto, ∇2V = ∂2V (x, z) ∂x2 + ∂2V (x, z) ∂z2 = ∂ ∂x (−V0e −kzk sin kx) + ∂ ∂z (−V0ke −kz cos kx) = (−V0e −kzk2 cos kx) + (V0k 2e−kz cos kx) = 0 b) En primera instancia, el campo eléctrico para z > 0 es ~E = −∇V = V0e −kzk sin kx · x̂+ V0ke −kz cos kx · ẑ Luego las líneas de campo están dadas por la solución de la siguiente EDO dz dx = Ez Ex = cos kx sin kx =⇒ z(x) = ln(| sin kx|) k + C con C ∈ R. c) Dado que el plano es no conductor, la líneas de campo deben ser simétricas con respecto a él tanto para z > 0, como para z < 0. De este modo, el campo eléctrico generado por la densidad superficial de carga sobre el plano debe ser simétrico con respecto al plano xy. Luego, usando la condición de borde sobre la componente normal del campo eléctrico, es decir En1 − En2 = σ ε0 donde E1n = −E2n = V0k cos kx, se tiene que σ = 2ε0V0k cos kx II. SOLUCIONES 63 Solución 5.4 P X Consideremos inicialmente el caso r > a, por Poisson debe cumplirse que ∇2Φ = −ρ(r) ε0 adicionalmente como ρ(r) = −ε0k 2Φ(r) y hay simetría esférica, entonces la ecuación anterior se transforma en 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂Φ dθ2 ) = k2Φ Usando el cambio de variables a Φ(r) = r−1Ψ(r), la ecuación se transforma en 1 r2 ∂ ∂r ( r2 ( −r−2Ψ(r) + r−1∂Ψ(r) ∂r )) = k2r−1Ψ =⇒ ∂ ∂r ( −Ψ(r) + r ∂Φ(r) ∂r ) = k2rΨ(r) Volviendo a derivar nuevamente −∂Ψ(r) ∂r + ∂Ψ(r) ∂r + r ∂2Ψ(r) ∂r2 = k2rΨ(r) =⇒ ∂2Φ(r) ∂r2 − k2Ψ(r) = 0 La última ecuación diferencial tiene por solución Ψ(r) = Aekr +Be−kr, donde A y B son constantes por determinar. Devolviéndose con con el cambio de variables Φ(r) = 1 r (Aekr +Be−kr) Por condiciones de borde Φ(r −→ ∞) = 0, es decir, debe cumplirse que A = 0 (el potencial no puede diverger en el infinito). Por otro lado Φ(a) = V0, luego B = V0ae ka, por lo que el potencial y la densidad de carga para r > a vale Φ(r) = V0a r ek(a−r) =⇒ ρ(r) = −k2ε0 V0a r ek(a−r) Para r < a existe una densidad de carga uniforme (o constante) la cual se denotará como ρ0 (por determinar). El campo eléctrico dentro de una esfera de radio a, debe valer ¨ ~E · ~dS = Qenc ε0 =⇒ E(r) · 4πr2 = 4πr3ρ0 3ε0 =⇒ ~E = ρ0r 3ε0 r̂ Dado que no existen densidades de carga superficiales en r = a, el campo eléctrico debe ser continuo en ese punto. De modo que se cumple que ρ0a 3ε0 = − ∂ ∂r ( V0a r ek(a−r) )∣∣∣∣ r=a =⇒ ρ0 = 3ε0V0(ka+ 1) a2 Finalmente, el potencial para r < a estará dado por Φ(r)−V0 = − rˆ a V0(ka+ 1)r a2 dr = −V0(ka+ 1) a2 ( r2 2 − a2 2 ) =⇒ Φ(r) = V0− V0(ka+ 1)(r2 − a2) 2a2