122 CAPÍTULO 11. LEY DE AMPÈRE II. Soluciones Solución 11.1 P X a) Usando la definición de corriente eléctrica a partir de la densidad de corriente...

122 CAPÍTULO 11. LEY DE AMPÈRE II. Soluciones Solución 11.1 P X a) Usando la definición de corriente eléctrica a partir de la densidad de corriente, se obtiene que I0 = ¨ ~J1 · ~dS = 2πˆ 0 aˆ 0 αrẑ · rdrdθẑ = 2παa3 3 =⇒ α = 3I0 2πa3 −I0 = ¨ ~J2 · ~dS = 2πˆ 0 cˆ b −βẑ · rdrdθẑ = −βπ(c2 − b2) =⇒ β = I0 π(c2 − b2) b) Por otro lado, el campo magnético es por ley de Ampere • r < a: ˛ ~B·~dl = µ0Ienl =⇒ B(r)·2πr = µ0 2πˆ 0 rˆ 0 αrẑ·rdrdθẑ = µ0 2π 3 αr3 =⇒ ~B = µ0αr 2 3 θ̂ = µ0I0r 2 2πa3 θ̂ • a < r < b: ˛ ~B · ~dl = µ0Ienl =⇒ B(r) · 2πr = µ0 2πˆ 0 aˆ 0 αrẑ · rdrdθẑ = I0 =⇒ ~B = µ0I0 2πr θ̂ • b < r < c: ˛ ~B · ~dl = µ0Ienl =⇒ B(r) · 2πr = I0 − 2πˆ 0 rˆ b βẑ · rdrdθẑ =⇒ ~B = µ0I0 2πr c2 − r2 c2 − b2 θ̂ • r > c: ˛ ~B · ~dl = µ0Ienl =⇒ B(r) · 2πr = I0 − I0 = 0 =⇒ ~B = 0 c) Un gráfico aproximado es el siguiente: µ0I0 2pa µ0I0 2pb a b c r |B(r)| Figura 11.1: Gráfico II. SOLUCIONES 123 Solución 11.2 P X a) Para iniciar el problema se debe calcular el campo magnético que produce un cable que lleva corriente. Usando Ley de Ampère sobre un camino Γ (circunferencia de radio r recorrida en sentido anti-horario). ˛ Γ ~B · ~dl = µ0I =⇒ −B(r) · 2πr = µoI =⇒ ~B = µ0I 2πr (−θ̂) Se supondrá que el punto donde el campo magnético se anula es sobre el eje X . Sea “x” el valor medido desde el centro del sistema de referencia. Debido al superposición de los campos magnéticos, el campo en ese punto vale: ~B(x, 0) = ~B1 + ~B2 + ~B3 = µ0I 2π(x+ d) (−ẑ) + µ0I 2πx (−ẑ) + µ0I 2π(d− x) ẑ Es posible verificar que el valor del campo magnético sobre el eje x siempre va en el sentido ẑ (o −ẑ) y depende sólo de la distancia que separa el cable al punto donde se calcula el campo. Dado que se buscamos ~B(x, 0) = 0 , se obtiene que: 1 x+ d + 1 x − 1 d− x = 0 donde resultan dos puntos simétricos ubicados en x = ± d√ 3 b) Primero se calcula el campo magnético que genera el cable de la izquierda sobre el punto (0, y). Recordando que es ~B = µ0I 2πr (−θ̂) (precaución: la fórmula anterior está con respecto al origen, aquí la usaremos centrada en el punto (−d, 0)) se obtiene que: ~B1 = µ0I 2π √ y2 + d2 (−(− sinαx̂+ cosαŷ)) De igual forma, para el cable de la derecha se tiene que: ~B2 = µ0I 2π √ y2 + d2 (−(− sin (π − α)x̂+cos (π − α)ŷ)) = µ0I 2π √ y2 + d2 (−(− sinαx̂−cosαŷ)) Sumando las expresiones anteriores, y notando que sinα = y√ y2 + d2 ~B(0, y) = ~B1 + ~B2 = µ0I sinα π √ y2 + d2 x̂ = µ0Iy π(y2 + d2) x̂ Por lo que la fuerza estará dada por: d~F = I ~dl × ~B(0, y) = −Idzẑ × µ0Iy π(y2 + d2) x̂ = −µ0I 2dz π y y2 + d2 ŷ Se pide la fuerza anterior linealizada (primer orden), por lo tanto reescribiendo la expresión como d~F = −µ0I 2dz π 1 d y d (yd)2 + 1 ŷ 124 CAPÍTULO 11. LEY DE AMPÈRE ⇥ d d ⇥ a a ~B1 ~B2 ~B y ŷ x̂ Figura 11.2: Campos Magnéticos aplicados al cable. Como sabemos que y � d tenemos que hacer una aproximación según Taylor de la función f(λ) = λ λ2 + 1 en un punto cercano a λ = 0, por lo tanto f(λ) ≈ f(0) + df(λ) dλ ∣∣∣∣ λ=0 (λ− 0) = λ Finalmente la aproximación es d~F = −µ0I 2dz π 1 d y d (yd)2 + 1 ŷ ≈ −µ0I 2dz π y d2 ŷ Solución 11.3 P X Para calcular el campo en los lugares pedidos, primero se debe conocer el resultado genérico para el campo magnético producido por un alambre infinito con corriente I circulando en el sentido positivo de ẑ. Usando la Ley de Ampére en una superficie circular de radio r en el plano xy, y asumiendo por simetría ~B = B(r)θ̂, entonces: ˛ ~B · d~r = µ0I = 2πrB =⇒ ~B = µ0I 2πr θ̂ II. SOLUCIONES 125 Ahora volviendo al problema original, primero se calcula el campo en el punto P1, colocando al origen de los ejes cartesianos sobre P1, con x̂ horizontal hacia la derecha, e ŷ vertical hacia arriba: ~B = µ0I 2π d√ 2 (−x̂+ ŷ√ 2 ) + µ0I 2π d√ 2 ( x̂− ŷ√ 2 ) + µ0I π d√ 2 (−x̂− ŷ√ 2 ) Por lo tanto: ~B(P1) = −µ0I πd (x̂+ ŷ) Para el cálculo en el punto P2, se reubica el origen de los ejes en él, nuevamente con x̂ horizontal hacia la derecha, e ŷ vertical hacia arriba: ~B = µ0I 2πd x̂+ µ0I 2πd ŷ + µ0I πd √ 2 (−x̂− ŷ√ 2 ) = 0 =⇒ ~B(P2) = 0 Solución 11.6 P X Se nos pide determinar la fuerza entre las placas que puede ser algo complejo de ver a primera vista. ¿Por qué siente fuerza una placa?, a priori se podría suponer que la fuerza que siente cada placa es la misma módulo, ya que es un par acción - reacción. Ahora, si se toma como referencia la placa Π1, la placa Π2 sentirá una fuerza por dos motivos: la corriente que circula por ~K1 provoca un campo magnético en todo el espacio y en Π2 existe una corriente circulando. Estos dos elementos, “campos magnéticos” (por lo general externos) y “corrientes” (o cargas en movimiento) siempre provocan fuerza sobre las cargas. Ahora para determinar la fuerza se debe usar la forma diferencial de la fuerza de Lorentz: d~F2 = dq~v2 × ~B1 Donde ~F2 es la fuerza que siente la placa Π2. En este caso el diferencial de carga dq = σ2dS, pero por otro lado ~K2 = σ2~v2. Juntando las igualdades anteriores se puede reescribir la fuerza como d~F2 = ~K2dS × ~B1 =⇒ d~F2 dS = ~K2 × ~B1 El campo magnético ~B1 de una placa puede ser determinado por Ley de Ampère (Figura 11.3). ~K1 G ~B1 L x y z z z Figura 11.3: Corriente en el plano Π1 y camino de Ampère. La curva Γ es un rectángulo de an