Por lo tanto ~E = ε0 ~D = Q 4πε0r2 r̂ b) Las densidades de polarização están ubicadas en σpol(R1) = ~P (R1) · (−r̂) = (ε− ε0) ε Q 4πR2 1 r̂ · (−r̂) = −(ε− ε0) ε Q 4πR2 1 σpol(R2) = ~P (R2) · r̂ = (ε− ε0) ε Q 4πR2 2 r̂ · r̂ = (ε− ε0) ε Q 4πR2 2 Mientras que la densidad de carga libre es σlibre(R1) = ~D(R1) · r̂ = Q 4πR2 1 r̂ · r̂ = Q 4πR2 1 c) La diferencia de potencial entre el infinito y la esfera es V1(R1) = ∞̂ R1 ~E · ~dl = R2ˆ R1 Q 4πεr2 dr + ∞̂ R2 Q 4πε0r2 = Q 4πε ( 1 R1 − 1 R2 ) + Q 4πε0R2 En ausencia de dieléctrico se tendría que la tensión V2 es V2(R1) = Q 4πε0R1 = Q 4πε0 ( 1 R1 − 1 R2 ) + Q 4πε0R2 Nótese que el último término para ambos potenciales es igual, por lo que el término que indica cual es mayor es el primer término de la suma, ahora dado que ε > ε0, se tiene que 1 ε0 > 1 ε =⇒ Q 4πε0 ( 1 R1 − 1 R2 ) > Q 4πε ( 1 R1 − 1 R2 ) =⇒ V2(R1) > V1(R1) El potencial en la esfera es mayor en ausencia del dieléctrico. La densidad de carga libre dependerá del hemisferio de la esfera, de modo que para el hemisferio inferior σl1 = ~D1(r) · n̂ ∣∣∣ r=R = ε1Q 2πR2(ε1 + ε2) r̂ · r̂ y de la misma forma para el hemisferio superior σl2 = ~D2(r) · n̂ ∣∣∣ r=R = ε2Q 2πR2(ε1 + ε2) r̂ · r̂ En cuanto a las cargas de polarización, hay que calcular previamente el vector polarización en cada medio ~D = ε0 ~E + ~P = ε ~E =⇒ ~P = (ε− ε0) ~E De modo que ~P1 = (ε1 − ε0) ~E = (ε1 − ε0)Q 2πr2(ε1 + ε2) r̂ Entonces, σP1 = ~P1(r) · n̂ ∣∣∣ r=R = (ε1 − ε0)Q 2πR2(ε1 + ε2) r̂ · (−r̂) = − (ε1 − ε0)Q 2πR2(ε1 + ε2) De forma análoga σP2 = − (ε2 − ε0)Q 2πR2(ε1 + ε2) Notar el hecho que la normal en el caso de la densidad de carga libre apunta desde el conductor al dieléctrico y en el caso de la densidad de carga de polarización apunta en el sentido inverso. c) La carga de polarización total está dada por QP = 2πR2σP1 + 2πR2σP2 = −(ε1 + ε2 − 2ε0)Q (ε1 + ε2) =⇒ ∣∣∣∣ QP Q ∣∣∣∣ = ε1 + ε2 − 2ε0 ε1 + ε2 ≈ 39 40 Luego la carga neta vale Qneta = Q+QP = Q 40 > 0 . n paralelo, luego la capacitancia total del sistema es igual a su suma, es decir: CT = C1 + C2 = 2πε1z ln ( b a ) + 2πε2(L− z) ln ( b a ) = 2π ln ( b a )((ε1 − ε2)z + ε2L) Por lo tanto la energía de ese condensador está dada por U = 1 2 Q2 CT (z) II. SOLUCIONES 185 Luego, considerando que la carga es constante, la fuerza que ejerce el sistema es ~Fsist = −∇U = −1 2 Q2 ∂ ∂z ( 1 CT (z) ) ẑ = 1 2 Q2 CT (z)2 ∂CT (z) ∂z ẑ Reduciendo la expresión a ~Fsist = 1 4π Q2 ln ( b a ) ε1 − ε2 ((ε1 − ε2)z + ε2L)2 ẑ Nótese lo siguiente, como ε1 < ε2 la fuerza que efectúa el sistema apunta en el sentido de negativo de z, por lo que el dieléctrico 2 intenta expulsar al dieléctrico 1 del condensador. En efecto, este resultado es consecuencia de que el sistema busque su mínima energía, la se obtiene con el condensador completamente lleno del dieléctrico con constante ε2. Por lo tanto, para poder introducir el dieléctrico 1 una distancia z = 1 2L dentro del condensador se debe aplicar una fuerza del mismo valor en el sentido contrario a la que se siente en ese punto, es decir, la fuerza buscada vale ~Fext = −~Fsist ∣∣∣ z= 1 2 L = Q2 πL2 ln ( b a ) ε2 − ε1 (ε1 + ε2)2 ẑ Solución 17.4 P X a) Se debe encontrar el valor de V (x), sabiendo que el potencial cumple la siguiente condición d2V (x) dx2 + k dV (x) dx = 0 Con k > 0 y 0 ≤ x ≤ d. Para ello se asume que la solución de la EDO es V (x) = Aeαx + B con A, B y α constantes no nulas por determinar. En efecto, reemplazando la solución en la ecuación anterior d2V (x) dx2 + k dV (x) dx = Aα2eαx + kAαeαx = Aαeαx(α+ k) = 0 De la ecuación anterior se obtiene α = −k Luego, la solución se transforma en V (x) = Ae−kx + B y las otras constantes pueden ser despejadas con las condiciones de borde V (0) = 0 =⇒ A+B = 0 =⇒ A = −B V (d) = V0 =⇒ Ae−kd +B = V0 Despejando A y B de las ecuaciones anteriores A = V0 e−kd − 1 B = − V0 e−kd − 1 Finalmente la solución es V (x) = V0(e−kx − 1) e−kd − 1 b) Dado que se conoce el potencial, es posible conocer el campo eléctrico dentro de las placas ~E = −∇V = − d dx ( V0(e−kx − 1) e−kd − 1 ) x̂ = V0ke −kx e−kd − 1 x̂ Asumiendo que el material es lineal, isótropo y no homogéneo se tiene que ~D = ε(x) ~E = ε(x) · V0ke −kx e−kd − 1 x̂ Dada la ausencia de carga libre dentro de las placas ~∇ · ~D = 0 =⇒ d dx (ε(x)e−kx) = 0 =⇒ ε(x)e−kx = C Usando la condición de borde ε(x = 0) = ε1 =⇒ C = ε1 por lo tanto ε(x) = ε1e kx c) La densidad de carga libre en la placa a potencial V0 dada por σl = ~D · n̂ ∣∣∣ x=d , de modo que σl = ekx · V0ke −kx e−kd − 1 x̂ · (−x̂) = − kV0 e−kd − 1