de que ∂f(t,x) ∂x sea continua tiene que ver con la “unicidad”. Por ejemplo, para la EDO x′ = 2t √ x con condición inicial x(0) = x0 = 0 existen d...

de que ∂f(t,x) ∂x sea continua tiene que ver con la “unicidad”. Por ejemplo, para la EDO x′ = 2t √ x con condición inicial x(0) = x0 = 0 existen dos soluciones distintas (compruébese): x1(t) = 0, ∀t y x2(t) = t4/4. Esto se debe a que ∂f(t,x) ∂x = t√ x, que no es continua en x = x0 = 0. Introduzcamos ahora la noción de solución general de una EDO de n-ésimo orden. Definición 1.1.3. Se llama solución general de una EDO de n-ésimo orden como (1.1) a una función (familia n-paramétrica) x = ϕ(t, c1, c2, . . . , cn), que depende de n constantes arbitrarias c1, c2, . . . , cn (“constantes de integración”) de modo que: a) satisfaga la ecuación (1.1) cualesquiera que sean los valores de las constantes c1, c2, . . . , cn; b) para las condiciones iniciales (1.5) se pueden elegir las constantes c1, c2, . . . , cn para que la función x = ϕ(t, c1, c2, . . . , cn) satisfaga estas condiciones (suponiendo que los valores iniciales t0, x0, x ′ 0, . . . , x (n−1) 0 pertenezcan al dominio de existencia de la solución). Una relación de la forma Φ(t, x, c1, . . . , cn) = 0, que define la solución general de manera impĺıcita, se llama integral general de la EDO. Toda función obtenida de la solución general para valores concretos de las constantes c1, c2, . . . , cn, se llama solución particular. La gráfica de una solución particular se llama curva integral de la EDO dada. Resolver (o integrar) una EDO de orden n significa: 1. hallar su solución general (si no se han dado las condiciones iniciales), o 2. hallar la solución particular de la EDO que satisfaga las condiciones iniciales dadas (si ésta existe). Observación 1.1.4. Sensibilidad a las condiciones iniciales. En el teorema 1.1.1 se exigen condiciones que garantizan la existencia y unicidad de solución para la ecuación (1.1) con condiciones iniciales (1.5). Cuando pensamos en (1.1) como una ecuación que modela un problema f́ısico, las condiciones iniciales (1.5) provienen de mediciones donde una pequeña imprecisión o error experimental es inevitable. Asimismo, la propia ecuación diferencial (1.1) será una aproximación tratable a un modelo quizás más complejo. Desde este punto de vista práctico, es importante saber si pequeños cambios en las condiciones iniciales o en los términos y parámetros que definen la ecuación diferencial conducen o no (en “tiempo”|t| =≤ T finito) a pequeños cambios en las soluciones. Esto garantiza la eficacia de la ecuación (al menos a corto plazo) como modelo del problema f́ısico al que eventualmente pretende describir. No entraremos en la demostración de los importantes teoremas que existen en conexión con la continuidad y diferenciabilidad respecto de las condiciones iniciales y parámetros (véase por ejemplo [12]) y diremos que las exigencias del teorema 1.1.1 aseguran que la solución de (1.1) no es “sensible” a las condiciones iniciales a corto plazo, es decir, las soluciones de problemas de Cauchy próximos permanecen próximas a tiempo finito. Es importante enfatizar el requerimiento de “tiempo finito” ya que, a largo plazo, esto no tiene porqué ocurrir. Por ejemplo, consideremos la ecuación x′ = x2, cuya solución con condición inicial x(0) = ǫ > 0 es x(t, ǫ) = ǫ/(1 − ǫt), y puede demostrarse (véase [11]) que está definida en (−∞, 1/ǫ) y ĺımt→1/ǫ x(t, ǫ) =∞. Sin embargo, la solución con condición inicial x(0) = 0 es x(t, 0) = 0. En este tema describiremos los principales métodos de resolución de Ecuaciones Dife- renciales Ordinarias (EDOs) de primer orden. 1.2. Separación de variables Si se puede escribir la ecuación diferencial de primer orden como: dx(t) dt = −G(t) F (x) ⇒ F (x)dx+G(t)dt = 0 (1.6) se dice que las variables son separables y la solución se obtiene por integración directa- mente ∫ F (x)dx+ ∫ G(t)dt = c (1.7) Algunos problemas aplicados donde aparecen estas ecuaciones Veamos primeramente varios Modelos de dinámica de poblaciones. Sea P (t) la población de una cierta especie animal en un instante de tiempo t. En general, el ritmo de variación en el tiempo de la población viene dado por: dP (t) dt = vn(t)− vd(t) + vi(t)− ve(t) donde vn donde es la velocidad de nacimientos, vd la de defunciones, vi la de inmigraciones y ve la de emigraciones. Ejemplo 1.2.1. Modelo de Malthus. El modelo más simple es el que supone que la velo- cidad de nacimientos es proporcional al tamaño de la población vn = nP e, igualmente, la velocidad de defunciones es proporcional al tamaño de la población vd = mP . Se supone, además, que la población es cerrada, es decir, no hay migración. Entonces la igualdad anterior se convierte en esta otra dP (t) dt = (n−m)P (t) (1.8) donde n y m son las tasas de nacimiento y defunción relativas constantes. Si integramos respecto de t, resulta P (t) = P0e kt, k = n−m, donde P0 es la población en el instante inicial t0. Vemos que el crecimiento es exponencial. Si k > 0, este crecimiento lleva a superpoblacón a largo plazo. Si k < 0, se produce la extinción de la población a largo plazo. � Ejercicio 1.2.2. Crecimiento de bacterias. En un cierto cultivo de bacterias la velocidad de crecimiento es directamente proporcional al número presente y se ha observado que se duplica al cabo de 4 horas. Establecer la ley de crecimiento y hallar el número de bacterias que habrá en el cultivo transcurridas 12 horas. � En el modelo malthusiano no se tienen en cuenta cuestiones tan importantes como las siguientes: La limitación de recursos y de espacio, que hace imposible el crecimiento indefinido. 2) Para muchas poblaciones naturales, la constante k no permanece constante a lo largo del tiempo. Ahora bien, hay poblaciones que tienen la particularidad de que, cuando el tamaño es pequeño, disminuye de una forma importante el número de encuentros para procrear y esto influye en el valor de k. Veamos un modelo menos simplista como es el loǵıstico. Ejemplo 1.2.3. Modelo loǵıstico. La idea fundamental que sustenta este modelo es la siguiente: la limitación de recursos y de espacio hace imposible un crecimiento indefinido y, en general, a largo plazo debe de haber algún reajuste. En 1836 Verhulst propuso que cuando una población alcanza un tamaño demasiado grande debe de producirse un proceso de autolimitación. En algunas poblaciones (como en la mosca de la fruta, poblaciones de bacterias, células de levadura, protozoos, etc), el ı́ndice de natalidad n(t) disminuye cuando la población P (t) aumenta: n(t) = n0 − n1P (t). Supongamos que el ı́ndice de mortalidad es constante m(t) = m0. La ecuación diferencial (1.8) queda entonces como dP dt = kP (M − P ) que resulta ser separable. La solución es: P (t) = MP0 P0 + (M − P0)e−kMt t M PHtL Figura 1.1: Sigmoides: Curva loǵıstica para distintas condiciones iniciales donde P0 = P