Las EDPs podŕıan interpretarse como un paso al cont́ınuo, i ∈ N → x ∈ R en yi(t) → yx(t) = y(t, x) (vector de “infinitas componentes”). De hecho y...

Las EDPs podŕıan interpretarse como un paso al cont́ınuo, i ∈ N → x ∈ R en yi(t) → yx(t) = y(t, x) (vector de “infinitas componentes”). De hecho ya hemos visto cómo un sistema de EDOs para la cuerda discreta (2.28) se transforma en una EDP en el paso al continuo. También hemos visto el proceso inverso al estudiar la difusión del calor en un vástago (2.31), es decir, cómo una EDP se puede discretizar para dar lugar a un sistema de EDOs. En este caṕıtulo abordaremos la resolución de EDPs de forma exacta, sin hacer uso de discretizaciones. Estudiaremos sólo EDPs lineales, mayormente de orden 2 como por ejemplo: A ∂2y(t, x) ∂t2 +B ∂2y(t, x) ∂x∂t + C ∂2y(t, x) ∂x2 +D ∂y(t, x) ∂t + E ∂y(t, x) ∂x + Fy(t, x) = G, (6.1) donde los coeficientes A,B, . . . , G son funciones dadas de (t, x), en particular constantes. Estas ecuaciones se clasifican en tres tipos dependiendo del determinante de la matriz de coeficientes A,B,C de las derivadas de segundo orden [las derivadas solo afectan a y(t, x)]. A ∂2y(t, x) ∂t2 +B ∂2y(t, x) ∂x∂t + C ∂2y(t, x) ∂x2 = ( ∂ ∂t ∂ ∂x ) ( A B/2 B/2 C )( ∂ ∂t ∂ ∂x ) y(t, x) de manera que la ecuación se denomina det ( A B/2 B/2 C ) = AC −B2/4 { < 0 ⇒ hiperbólica = 0 ⇒ parabólica > 0 ⇒ eĺıptica } (6.2) Cuando la variable independiente t representa el “tiempo”, las ecuaciones que estudiare- mos son de tipo hiperbólico (ondas) o parabólico (difusión). A la EDP (6.1) se le suelen imponer también ciertas condiciones de contorno e iniciales, que suelen depender del tipo de ecuación: parbólico, hiperbólico o eĺıptico. 6.2. Método de separación de variables El método de separación de variables consiste en buscar soluciones de la forma y(t, x) = T (t)X(x), donde T y X son funciones de solo t y x, respectivamente. Introduciendo este tipo de solución en (6.1) y denotando por X ′ = dX/dx y por Ṫ = dT/dt tenemos: AXT̈ +BX ′Ṫ + CX ′′T +DXṪ + EX ′T + FXT = G. (6.3) Dividiendo todo por y = XT (válido en la región donde y 6= 0) obtenemos A T̈ T +B X ′Ṫ XT + C X ′′ X +D Ṫ T + E X ′ X + F = G XT . (6.4) Intentamos que esta ecuación se separe en dos sumandos de la forma S1(t) = S2(x) de manera que, siendo funciones distintas y de diferente variable, la única forma de que se cumpla esta ecuación es que ambas sean constantes e iguales, es decir, S1(t) = λ = S2(x), con λ una constante. En efecto, si fijamos t = t0 en S1(t0) = S2(x) y variamos x, obtenemos que S2(x) es constante y viceversa. En nuestro caso, para simplificar, supondremos que A,B, ,̇F son constantes y que B = G = 0. De esta forma nuestra EDP se nos reduce a dos EDOs en variables t y x separadas como: S1(t) = A T̈ T +D Ṫ T + F = λ = −CX ′′ X − EX ′ X = S2(x). (6.5) La constante λ no es arbitraria en general, sino que se ve sometida a restricciones al imponer condiciones de contorno como por ejemplo y(t, 0) = 0 = y(t, L). Pensemos por ejemplo en extremos x = 0 y x = ℓ de una cuerda sujetos al eje x o en extremos de una varilla de longitud ℓ a tempertura y = 0, etc, en cualquier instante de tiempo. Consideremos por simplicidad el caso C = 1, E = 0, de manera que S2(x) = − X ′′ X = λ, (6.6) que tiene como solución general X(x) = c1 sen(kx) + c2 cos(kx), para k 2 = λ > 0 (consi- deraremos solo este caso por simplicidad). La condición de contorno y(t, 0) = 0 = y(t, L) implica X(0) = 0 = X(ℓ). La primera condición X(0) = 0 ⇒ c2 = 0, mientras que X(ℓ) = 0 ⇒ c1 sen(kℓ) = 0 lo que implica que, o bien c1 = 0 (solución trivial que no nos interesa), o bien kℓ = nπ para cualquier n ∈ Z. Esto último quiere decir que los valores de k están “cuantizados”, tomando los valores propios kn = nπ/ℓ, n ∈ Z. (6.7) A las soluciones Xn(x) = sen(knx) se les denomina funciones propias (o “modos normales” de vibración, en el caso de la ecuación de ondas). De echo, la ecuación−X′′ X = λ puede verse como un problema de autovalores −X ′′ = λX del operador derivada segunda −d2/dx2 (“momento lineal al cuadrado en Mecánica Cuántica”). Como X−n = −Xn y X0 = 0, solo el conjunto {Xn, n ∈ N es linealmente independiente. Es más, cualquier función combinación lineal de las Xn del tipo X(x) = ∑ n∈N Bn sen(knx) (6.8) es también solución de (6.6) y verifica las condiciones de contorno X(0) = 0 = X(ℓ). Esta solución en serie nos es de utilidad a la hora de resolver condiciones iniciales del tipo y(0, x) = y0(x), que daterminan el perfil de y, como función de solo x, en el instante inicial. Esto significa X(x) = y0(x)/T (0) y nos interesa obtener los coeficientes Bn del desarrollo (6.8) para un perfil inicial y0(x) dado. Esto va a ser fácil cuando nos demos cuenta de que el conjunto de funciones propias {Xn, n ∈ N es un conjunto ortogonal, hecho ya notado por Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) en sus estudios matemáticos sobre la propagación del calor, especialmente sobre el entendimiento de la distribución global de la temperatura terrestre. 6.3. Series de Fourier Las series de Fourier estudian la representación de funciones periódicas en general (como la de la figura 6.1) en términos de senos y cosenos. Las soluciones (6.8) que hemos obtenido son impares, X(−x) = −X(x), por la con- dición de contorno X(0) = 0, que elimina las soluciones de tipo coseno. Otro tipo de condiciones de contorno, como las condiciones periódicas X(x0) = X(x0 + ℓ), tienen en cuenta ambas soluciones: seno y coseno. Es más, la condición sen(kx) = sen(k(x + ℓ)) o cos(kx) = cos(k(x+ ℓ)), se cumple ahora para kn = 2π ℓ n, n = 0, 1, 2, . . . [Nótese el factor 2 de diferencia respecto a (6.7)]. Una solución arbitraria X(x) se podrá escribir como combinación lineal de soluciones de tipo seno y coseno como X(x) = A0 2 + ∞∑ n=1 An cos(knx) +Bn sen(knx), (6.9) donde los coeficientes An y Bn se denominan representación de X en el dominio de momentos kn. Dada una función X(x), los coeficientes (“espectrales”) An y Bn pueden determinarse teniendo en cuenta las propiedades de ortogonalidad de cos(knx) y sen(knx) que describimos seguidamente. 6.3.1. Propiedades de ort