El teorema anterior indica que, conocidas dos soluciones independientes x1(t) y x2(t), cualquier solución x(t) se puede poner como combinación li...

El teorema anterior indica que, conocidas dos soluciones independientes x1(t) y x2(t), cualquier solución x(t) se puede poner como combinación lineal de ambas x(t) = C1x1(t) + C2x2(t) con C1 y C2 constantes arbitrarias. Derivando la ecuación anterior se obtiene x′(t) = C1x ′ 1(t) + C2x ′ 2(t). Ambas ecuaciones se pueden escribir juntas en notación matricial como ( x(t) x′(t) ) = ( x1(t) x2(t) x′1(t) x′2(t) )( C1 C2 ) . Evaluando en t = t0, y notando que las condiciones iniciales son x(t0) = x0, x ′(t0) = v0, tenemos que ( x0 v0 ) = ( x1(t0) x2(t0) x′1(t0) x′2(t0) )( C1 C2 ) . La condicion para que la solución x(t) exista y sea única es que podamos despejar ( C1 C2 ) = ( x1(t0) x2(t0) x′1(t0) x′2(t0) )−1( x0 v0 ) , es decir, que la matriz fundamental de Wronsky ( x1(t0) x2(t0) x′1(t0) x′2(t0) ) sea invertible, lo cual es equivalente a que el determinante Wronskiano ∣ ∣ ∣ ∣ x1(t0) x2(t0) x′1(t0) x′2(t0) ∣ ∣ ∣ ∣ 6= 0, tal y como requiere el teorema 2.1.11. 2.1.3. Ecuaciones no homogéneas. Variación de las constantes Las soluciones de la ecuación lineal homogénea L(x) = 0 ↔ (DIn − A)~z = ~0 y de la no homogénea L(x) = f ↔ (DIn − A)~z = ~b guardan una relación muy estrecha, como pone de manifiesto el siguiente resultado: Teorema 2.1.13. Sea S = {x1(t), x2(t), . . . , xn(t)} un sistema fundamental de L(x) = 0 y xp(t) una solución cualquiera de L(x) = f. Entonces la solución general de L(x) = f viene dada por x(t) = s.g.n.h. xp(t) s.p.n.h. + c1x1(t) + c2x2(t) + · · ·+ cnxn(t) s.g.h. , donde c1, c2, . . . , cn son constantes arbitrarias. Demostración: sea x(t) la solución general de la ecuación no homogénea (s.g.n.h.) L(x) = f y xp(t) una solución particular de L(x) = f (s.p.n.h.). Si definimos u(t) = x(t)− xp(t), por la linealidad de L se debe cumplir L(u) = L(x)− L(xp) = f − f = 0. Esto demuestra que u(t) es una solución de la ecuación homogénea L(x) = 0; por consiguiente, según el Teorema 2.1.9, existen constantes c1, c2, . . . , cn tales que u(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + · · ·+ cnxn(t) = x(t)− xp(t) . Principio de superposición para ecuaciones no homogéneas Respecto al cálculo de soluciones particulares xp de L(x) = f, a veces resulta útil el siguiente “principio de superposición”para EDOs lineales no homogéneas (veáse más adelante el método de los coeficientes indeterminados). Teorema 2.1.14. Sean xp1 , xp2, . . . , xpk soluciones particulares respectivas de L(x) = f1, L(x) = f2, . . . , L(x) = fk en un cierto intervalo I, entonces xp = α1xp1 + α2xp2 + · · ·+ αkxpk , con αi, i = 1, . . . , k constantes reales, es solución de L(x) = f = α1f1 + α2f2 + · · ·+ αkfk. Demostración: en efecto, este resultado es consecuencia de la linealidad del operador diferencial L L(α1xp1 + α2xp2 + · · ·+ αkxpk) = α1L(xp1) + α2L(xp2) + · · ·+ αkL(xpk) = = α1f1 + α2f2 + · · ·+ αkfk = f. Este principio resulta especialmente útil en el caso de funciones periódicas f(t) = f(t + T ) bastante generales que admiten un desarrollo de Fourier en serie de senos y cosenos. Veáse más adelante. Método de variación de las constantes La búsqueda de la solución general de la ecuación lineal no homogénea pasa por encontrar un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y después una solución particular de la completa. Cuando ya se conoce la s.g.h., el cálculo de una solución particular puede hacerse por el método de variación de las constantes. En este caso, suponemos que la solución particular que buscamos podrá escribirse, en términos del sistema fundamental S = {x1(t), x2(t), . . . , xn(t)} del que ya disponemos, como xp(t) = c1(t)x1(t) + c2(t)x2(t) + · · ·+ cn(t)xn(t) (2.7) para funciones adecuadas ci(t), i = 1, . . . , n. Para comprenderlo mejor, hacemos uso del isomorfismo lineal entre el espacio de soluciones de L(x) = 0 y (DIn − A)~z = ~0. Así, la ecuación (2.7) puede escribirse de manera equivalente como ~zp(t) = Z(t)~c(t), donde ~zp = (xp, x ′ p, . . . , x (n−1) p )T , ~c = (c1, c2, . . . , cn) T , Z es la matriz fundamental definida en 2.1.10 y se han introducido condiciones auxiliares como ~xT (t)~c′(t) = 0, etc. Para una función ~zp definida de esta manera ocurrirá que ~z′p(t) = Z ′(t)~c(t) + Z(t)~c′(t) = A(t)Z(t)~c(t) + Z(t)~c′(t), donde hemos utilizado que (DIn − A)~zk = ~0, k = 1, . . . , n para las columnas ~zk de la matriz fundamental Z(t). Si queremos que ~zp cumpla la ecuación no homogénea ~z′p(t) = A(t)~zp(t) +~b(t), se concluye que Z(t)~c′(t) = ~b(t)⇒ ~c(t) = ∫ Z−1(t)~b(t)dt = ∫ −→ W [S](t) W [S](t) dt, donde, en la última igualdad, se ha utilizado el método de Cramer con −→ W [S] = (W1[S],W2[S], . . . ,Wn[S]) y Wj [S] el determinante que resulta de sustituir la columna j en el Wronskiano W [S] por ~b. Así, la solución general de (DIn − A)~z = ~b es ~z(t) = Z(t)~α + Z(t) ∫ Z−1(t)~b(t)dt. Si se imponen condiciones iniciales ~z(t0) = ~z0, la solución es: ~z(t) = Z(t)Z−1(x0)~z0 + Z(t) ∫ x x0 Z−1(t)~b(t)dt. (2.8) Observación 2.1.15. Como ilustración, y sin usar la equivalencia con sistemas de orden 1, discutamos el caso particular de EDOs lineales homogeneas de orden n = 2 x′′ + P (t)x′ +Q(t)x = f(t). Conocidas dos soluciones independientes x1(t) y x2(t) de la ecuación homogenea, escribimos cualquier solución x(t) como combinación lineal de ambas x(t) = C1(t)x1(t) + C2(t)x2(t) donde permitimos que C1 y C2 dependan de t (“variación de la constante”). Derivando la ecuación anterior se obtiene x′(t) = C1x ′ 1(t) + C ′ 1x1(t) + C2x ′ 2(t) + C ′ 2x2(t).