provienen de un sistema mecânico, las vibraciones pulsantes pueden acelerar el deterioro de los elementos estructurales, sobre todo si son excitada...

provienen de un sistema mecânico, las vibraciones pulsantes pueden acelerar el deterioro de los elementos estructurales, sobre todo si son excitadas las frecuencias naturales. 39 Fig. 2.6. Pulsaciones obtenidas de la combinación de ondas con frecuencias próximas. 2.2.4. Combinación de oscilaciones perpendiculares entre sí con igual frecuencia. Anteriormente fueron estudiadas combinaciones de sistemas oscilatorios donde las ondas viajaban en la misma dirección. Cuando las ondas viajan en direcciones perpendiculares entre sí se obtienen combinaciones que resultan de una gran complejidad. Sin embargo, este comportamiento es de gran utilización práctica porque puede ser utilizado para el estudio de sistemas estáticos. En este caso es posible determinar una frecuencia desconocida conociéndose la otra frecuencia y la forma de onda del movimiento resultante. Para los desplazamientos dados por las ecuaciones (2.28) se podrán obtener diferentes formas de ondas resultantes en dependencia de la relación entre las frecuencias ω ω 1 2 y así como entre los ángulos. x t A t y t A t ( ) cos( . ) ( ) cos( . ) = + = +1 1 2 2 ω α ω α (2.29) Si las frecuencias de las oscilaciones son iguales, las trayectorias serán sólo función de las fases. Transformando las ecuaciones (2.29) se obtiene la expresión de la trayectoria resultante, que será igual a: x A y A xy A A sen 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2+ − − = −cos( ) ( )α α α α (2.30) La ecuación (2.30) representa la ecuación general de la elipse, la cual toma la forma de figuras geométricas conocidas al sustituir valores significativos en la relación de los ángulos de fases. a) Para ( )α α π2 1 2− = ± n n= 0, 1, 2, 3, ........ x A y A xy A A y A A x 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 0+ − = = (2.31) como se aprecia de este resultado, la ecuación (2.31) representa a una recta con pendiente igual a la relación entre las amplitudes. Queda por demostrar si la oscilación resultante responde a las propiedades del movimiento armónico. Como las oscilaciones son perpendiculares entre sí, el desplazamiento resultante puede ser escrito de forma general mediante la relación trigonométrica siguiente: z t x y A A t z t A A t z t A t ( ) ( ) cos ( . ) ( ) cos( . ) ( ) cos( ) = + = + + = + + = + 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 ω α ω α ω α (2.32) donde : A; es la amplitud de la onda resultante α ; es el ángulo de fase resultante de la combinación de las ondas iniciales con ángulos de defasaje α1 y α2. con lo que queda demostrado que el movimiento resultante es también armónico. b) Para la relación ( ) ( )α α π2 1 2 1− = ± +n el análisis es similar al anterior, sólo que la recta obtenida es de pendiente negativa. c) Para la relación ( ) ( )α α π 2 1 2 1 2 − = ± +n se tendrá lo siguiente: x A y A 2 1 2 2 2 2 1+ = (2.33) El resultado dado por la ecuación (2.33) representa la ecuación de una elipse, cuyos ejes principales coinciden con las direcciones de las oscilaciones combinadas. También pueden encontrarse las condiciones dadas por 1 y 2. 1) Para ( )α α π 2 1 − > El movimiento mediante el cual se describe la elipse tendrá el mismo sentido que el movimiento de las agujas del reloj. 2) Para: El sentido del movimiento mediante el cual se describirá a la elipse será opuesto al movimiento de las agujas del reloj. Si en ambos casos se cumple que las amplitudes de las dos ondas son iguales, entonces la trayectoria obtenida será igual a una circunferencia. Cualquier otra combinación entre ( )α α2 1− dará como resultado una elipse, cuyos ejes principales estarán rotados respecto a las direcciones de las oscilaciones combinadas, como se muestra en la figura 2.7(b). a) Desarrollo de una elipse a partir de dos oscilaciones de frecuencias diferentes desfasadas entre sí. b) Fig. 2.7. Desplazamiento resultante para una combinación de dos oscilaciones perpendiculares. a) generación de la elipse. b) Diversas relaciones de ( )α α2 1− 2.2.5. - Combinación de oscilaciones perpendiculares entre sí de frecuencias diferentes Cuando los MAS que se combinan tienen amplitud, fase y frecuencia diferentes, las figuras geométricas que describen la trayectoria del sistema pueden tomar formas inimaginables. Fue J.A.Lissajous (1822-1880) el precursor del estudio del comportamiento de estas oscilaciones, de ahí que estas figuras reciban el nombre de figuras de Lissajous. La forma de construcción de estas figuras sigue el mismo principio descrito en la figura 2.7. Fig. 2.8. Figuras de Lissajous En la figura 2.8 se observa un grupo de figuras obtenidas para diferentes relaciones entre los ángulos de fase ( )α α2 1− y las frecuencias. Las figuras de la primera fila corresponden a las analizadas cuando ω ω 1 2 y son iguales. 2.3 - Señales determinísticas no periódicas. A este grupo corresponden las señales que provienen de los sistemas que presentan movimientos oscilatorios cuasi periódico y de los sistemas donde se producen movimientos transitorios. 2.3.1-Vibraciones cuasiperiódicas. Las vibraciones cuasiperiódicas pueden ser descritas por una suma de senos y cosenos cuyas frecuencias no guardan relación alguna entre sí. Si la trayectoria resultante del movimiento oscilatorio cuasiperiódico viene dada por una suma de cosenos, como por ejemplo x t A t A t A t( ) cos( ) cos( ) cos( )= + + + + +1 1 2 2 3 32 3 7α α α (2.34) entonces se puede plantear que la misma responde a la forma general de la serie de Fourier, pero con la característica de que las frecuencias no se relacionan entre ellas. x t X f tn n m n n( ) cos( . )= + =∑1 2π α (2.35) donde: f f n m ≠ a un número entero Un ejemplo de un sistema portador de este movimiento es el motor asincrónico. 2.3.2. - Señales transitorias. Las señales transitorias tienen lugar cuando el sistema es sometido a la acción de fuerzas excitadoras que actúan un breve período de tiempo. Las fuerzas excitadoras provocan vibraciones que tienden a desaparecer un tiempo después que cesa la acción de las mismas. Debido a este comportamiento, la amplitud de la vibración variará desde un valor máximo a un valor mínimo. Como ejemplos de señales transitorias pueden citarse las emitidas por los sistemas con vibraciones amortiguadas. 2.3.2.1 - Vibración libre amortiguada. Los sistemas con movimiento armónico simple no disipan energía durante la oscilación. Sin embargo, todo sistema real lleva implícita la existencia de fuerzas disipativas debido a lo cual el movimiento armónico simple cesa después que ha transcurrido cierto período de tiempo. Estas fuerzas disipativas son el reflejo de la existencia del amortiguamiento en el sistema. La vibración libre amortiguada es un modelo simplificado del comportamiento de los sistemas reales cuando sobre los mismos actúan fuerzas excitadoras con períodos muy pequeños de duración. De esta forma el sistema es estudiado a partir del cese de esa acción. Las propiedades de estos sistemas serán determinadas considerando el amortiguamiento de carácter viscoso que es proporcional a la velocidad. Si a la figura 2.2 que representa el modelo de un sistema con movimiento armónico simple se le agrega el efecto del amortiguamiento, la misma quedará como se muestra la figura 2.9. Fig. 2.9. Sistemas con vibración libre amortiguada Aplicando la segunda ley Newton al sistema se obtiene lo siguiente: F kx c x m x m x