Los elementos teóricos centrales en esta línea de la Didáctica de la Matemática son, en primer lugar, el concepto de problema, las estrategias heurísticas o simplemente heurísticas, las etapas en la resolución de un problema y la metacognición. A continuación iremos desarrollando cuestiones básicas sobre cada una de ellas. 6.1.1. Sobre la noción de problema El concepto de problema, para esta escuela, es central y a la vez complejo de asir. Diversos autores han propuesto sus propias definiciones, acorde al trabajo que deseaban encarar plasmando las características que consideraban relevante resaltar. Por mencionar algunas, citamos las siguientes: Comenzamos con Polya (1981), quien definió la noción de problema de la siguiente manera: “Tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata”7 (p.117). Krulik & Rudnik (1987) establecen que “Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que entes: • Existe una persona que ha de resolver la actividad (un resolutor). • Existe un punto de partida y una meta a alcanzar. • Existe un cierto bloqueo o resistencia que no permite acceder a la meta inmediatamente. A partir de estas características, primeramente resaltamos el hecho de que en realidad uno define el concepto de problema para un sujeto, y no simplemente la noción de problema. Esto expresa que lo que para un individuo resulta ser un problema bien podría no serlo para otro. Esta relatividad al sujeto es una característica inherente al concepto y a la vez empieza a poner de manifiesto la complejidad de su uso en el aula. En segundo lugar, resaltamos la tercera condición que pone en puntos opuestos a los problemas y los ejercicios, entendiendo estos últimos como actividades para cuya resolución el camino a seguir es claro para el sujeto. Por ejemplo, si los estudiantes conocen la fórmula resolvente de la ecuación cuadrática, una actividad que diga “resolver la siguiente ecuación cuadrática 2x2 - 5x + 3 = 0” resultaría ser un ejercicio, y por lo tanto no sería un problema para esos estudiantes. En oposición, si no conocieran dicha fórmula, la actividad bien podría resultar un problema. Por una cuestión de no recargar la escritura, diremos problema entendiendo con ello que nos referimos a problema para un sujeto. 8 Cfr: [a problem is] a situation, quantitative or otherwise, that confronts an individual or group of individuals, that requires resolution, and for which the individual sees no apparent or obvious means or path to obtaining a solution (sic). Hemos mencionado las características comunes a distintas definiciones de problema. Mencionamos aquí algunas características que no forman parte de lo común a todas las definiciones pero que algunos autores suman. Entre ellas sólo mencionamos las tres siguientes. • La motivación (que el estudiante se sienta motivado a resolver la actividad). • Las herramientas matemáticas (explícitamente se pide que el estudiante disponga de las herramientas necesarias para resolver). • El desafío (que resulte un desafío para quien resuelve). Para cerrar este apartado, consideramos la siguiente definición que puede verse en Chacón, Farías, González y Poco (2009) que retoma una propuesta hecha por González (1998). Un problema para un individuo es una situación que requiere solución y éste, estando motivado (u obligado por las circunstancias académicas, personales o vitales) no posee ni vislumbra el medio o camino que conduzca a la misma, al menos en lo inmediato. (p.3). En el apartado 6.3.1 daremos algunos criterios para la elaboración de problemas. 6.1.2. Sobre la noción de heurísticas Los términos heurísticas o estrategias heurísticas serán utilizados indistintamente en este texto y hacen referencia a lo que Polya (1981, p.10) define como “el estudio de medios y métodos de la resolución de problemas”9. Como diversos autores han trabajado sobre este concepto, sumamos dos aportes. Por un lado Verschaffel (citado por Koichu, Berman & Moore, 2003a) define las heurísticas como “…estrategias sistemáticas de búsqueda para el análisis y transformación del problema” (p.2). Por otra parte, Koichu et al (2003a), partiendo del conocimiento que las heurísticas se describen empíricamente o bien se acompañan de ejemplos puntuales que permitan entender el concepto, presentaron descripciones generales de las estrategias independientemente del contexto, como pueden verse en el artículo citado. Cabe resaltar que las heurísticas se ponen en juego cuando el sujeto está enfrentado a la tarea de resolver un problema pero no se circunscriben a estrategias exitosas que permiten obtener una respuesta correcta al problema. Veremos aquí que el uso de heurísticas suele darse en diversos momentos, por ejemplo a la hora de intentar comprender el enunciado, en la verificación de la solución, por mencionar un par. Estas estrategias se ponen en juego cuando el individuo está buscando la forma de resolver el problema. Aparecen en esos momentos de incertidumbre, exploración, indecisión y su uso no es necesariamente válido desde el punto de vista matemático. Podemos mencionar algunas heurísticas más comunes, entendiendo que de ninguna manera podríamos listarlas todas, y que la lista siempre quedará abierta a la creación de nuevos recursos en los momentos de incertidumbre. Algunas heurísticas son: • Utilizar un método de expresión o representación adecuado: verbal, gráfico, algebraico, numérico. • Razonar por analogía. • Recurrir a dibujos, esquemas, diagramas o gráficos. • Considerar casos particulares. • Analizar casos particulares para buscar regularidades o patrones y generalizar (razonamiento de tipo inductivo). • Verificar usando casos particulares. • Trabajar desde el final. • Dividir el problema en sub-problemas. • Simplificar el problema. • Introducir un elemento auxiliar. • … Explicamos y ejemplificamos algunas de ellas. Simplificar el problema: se refiere a que el sujeto en un primer momento simplifica el problema para pensar un caso más simple. Habiendo resuelto éste, vuelve al problema inicial y trata de llevar su forma de pensar al caso planteado. Imaginemos que, para algún estudiante, el siguiente enunciado constituya un problema: Indicar de cuántas formas pueden sentarse 10 personas en 10 butacas alineadas de una fila de un cine. En este caso, un sujeto puede simplificar el problema planteando un número menor de personas y butacas. En ese caso, podría representar mediante un esquema la situación y entendería la forma en la que podría contar en el caso general. P1 P2 P3 Aquí ha utilizado un esquema (otra heurística) y ha recurrido a una forma de simbolizar las personas (otra heurística). A partir de aquí puede pensar en la solución, exhibiendo exhaustivamente todos los casos y contando. Si en esta exploración el sujeto no encuentra algo que trascienda este caso particular, y se queda en la cuenta, no podrá “volver” al problema y resolverlo. Por otra parte, podría reconocer que tiene 3 posibilidades para la primera butaca, y que por cada una de ellas tiene 2 para la segunda y una única para la tercera y que esta forma de pensar podría extenderse al caso de 10 sujetos. Si así fuera podría pensar en regresar al problema con ideas extraídas de la simplificación que realizó. Si no hace esta última parte, puso en juego la heurística en el abordaje del problema pero no le alcanzó para resolverlo. Trabajar desde el final: se refiere a que el sujeto imagina tener una solución al problema y a partir de ella piensa qué condiciones deberían cumplirse para que esa solución se dé. Supongamos que la siguiente actividad es problema para un estudiante: indicar qué longitud debe tener el lado de un cuadrado que esté inscripto en un círculo de radio 2. Si el estudiante hace un gráfico de la situación como el siguiente, y a partir de él plantea 2x2 = 16 y a partir de allí avanza, estaría utilizando esta heurística. Observemos que si el sujeto no sabe cuál es la longitud buscada, pero imagina que la tuviera, concibe el problema resuelto y, a partir de ello, prosigue en la búsqueda de la solución. Ese es el sentido del uso de esta heurística. Esta misma actividad permite explicar el signific