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helmi, 2006) expresa que un mismo objeto matemático puede tener distintas representaciones semióticas y éstas son un medio que le permite al individuo exteriorizar sus representaciones mentales. Además de tener la función de comunicación son necesarias para la actividad matemática, ya que cualquier tratamiento sobre el objeto matemático depende del sistema de representación semiótico utilizado. El uso de diversos sistemas de representación semióticos en un mismo objeto matemático fortalece la capacidad cognitiva del individuo enriqueciendo sus representaciones mentales. Duval (1996) considera dos tipos de sistemas de representación de acuerdo a la cantidad de funciones cognoscitivas puestas en juego: el monofuncional, usado para una sola función cognoscitiva relacionada con el procesamiento matemático algorítmico; y el polifuncional, que abarca una gama más amplia de funciones cognoscitivas tales como comunicación, imaginación y procesamiento de información. A modo de ejemplo, para el caso de las funciones, el sistema de representación algebraico es monofuncional, mientras que el gráfico es multifuncional. Para el caso de límite funcional, Blázquez y Ortega (2001) consideran que existen distintos sistemas de representación para abordar y trabajar el concepto, ellos son: Verbal: es una aproximación óptima de los valores que toma una función en un entorno del punto en cuestión. Numérico: es un proceso de tendencia basado en una tabla de valores de la variable independiente y sus correspondientes imágenes, donde se mejora cualquier aproximación al límite con valores muy cercanos al punto de interés. Gráfico: el límite se representa como un punto en el eje de las ordenadas tal que a todo entorno que lo contiene le corresponde otro entorno del punto de interés sobre el eje x, en el que se proyecta. Algebraico: corresponde a la definición topológica, donde aparecen δε - que no son otra cosa que los controles de las aproximaciones. Algunos de estos sistemas poseen un carácter dinámico, mientras que otros son estáticos. El uso del sistema verbal y numérico evidencian una concepción de límite de carácter dinámico; en este último, la aproximación cumple un rol central. Por su parte el uso del sistema algebraico y gráfico posee un carácter estático, el primero deja ver una concepción de límite estática y abstracta con alto grado de precisión, mientras que el sistema gráfico con menor formalidad que el algebraico centra la atención en la visualización de las variables que entran en juego. 5.2.2. Concepciones espontáneas Cornu (1991) establece que algunos conceptos matemáticos se ven influenciados por las creencias o concepciones debido al uso del término en la vida diaria. Bajo estos supuestos denomina concepción espontánea a un conjunto de ideas, imágenes, intuiciones que el estudiante tiene sobre el uso corriente de un cierto término. Sostiene que estas concepciones son previas a la enseñanza de la noción y perduran con el paso del tiempo. Para el caso de la noción de límite esto representa un inconveniente, ya que la palabra admite variedad de usos en la cotidianidad, como por ejemplo: límite de velocidad, horario límite de atención, límite de un país, límites de conducta, entre otras. En consecuencia, los estudiantes trasladan estos significados al contexto matemático durante el aprendizaje. Esto, sin lugar a dudas, influye sobre la idea de límite que construyen generando suposiciones no necesariamente correctas, tales como: el límite es un valor que se alcanza, es un valor al que se puede acercar sin llegar a él, es una barrera, es una aproximación sin alcanzar el valor, entre otras. Las concepciones espontáneas pueden aparecer conforme a la situación que el estudiante debe resolver, provocando inclusive contradicciones con la definición formal que pueden no ser advertidas tanto por el estudiante como por el docente. 5.2.3. Imagen conceptual y definición conceptual Como mencionamos al comienzo, el Pensamiento Matemático Avanzado es una línea inmersa en el Enfoque Cognitivista cuyo objeto de estudio consiste en analizar cómo el estudiante concibe un concepto matemático nuevo, y qué variaciones sufre esa concepción a medida que recibe la enseñanza de la teoría formal. Tall & Vinner (1981) suponen la existencia de una distinción entre un concepto formal matemáticamente definido y el proceso cognitivo por el cual el estudiante concibe esa noción durante el aprendizaje. Introducen la noción de imagen conceptual para describir la estructura cognitiva que está ligada al concepto matemático, formada por todo lo que el estudiante evoca en el momento en que enfrenta o utiliza el concepto en cuestión. Pueden aparecer en su mente: imágenes, concepciones espontáneas, propiedades, procesos, notaciones, gráficos, descripciones coloquiales, etc. Estos autores sostienen que en la imagen conceptual hay un predominio de representaciones visuales por sobre las verbales, ya que en la memoria de un individuo las representaciones visuales son previas a la aparición de la fase verbal por una cuestión de complejidad. Por ejemplo, al mencionar el término “mesa” en la imagen conceptual aparece una idea de mesa asociada a la forma o imagen de un mueble, mientras que en una fase posterior el individuo puede definir con palabras ese término. Llevado esto al plano matemático, cuando un estudiante escucha el nombre de un concepto llegan primero a su mente representaciones visuales y/o expresiones relacionadas con el mismo, y en una fase posterior podrá expresarlo en forma verbal (Font, 2002). Esta imagen que se genera en la mente del estudiante está formada por distintas partes que guardan un vínculo pero no necesariamente coherentes entre sí o matemáticamente correctas. El estudiante podría no advertir este hecho, ya que dependiendo de la actividad planteada por el docente el estudiante puede evocar, para dar respuesta, alguna de las partes de su imagen conceptual y no otra. Mientras que la respuesta sea correcta, el individuo no toma conciencia si esa parte que se accionó de su imagen conceptual es o no correcta desde el punto de vista matemático. En consecuencia, la actividad debería permitir movilizar distintas porciones de su imagen conceptual donde se puedan manifestar contradicciones y se hagan evidentes con el objeto de generar un conflicto cognitivo. Font (2002), evocando a Vinner, expresa que en la estructura cognitiva se encuentran dos celdas que pueden interactuar o no entre ellas. Una corresponde a la imagen conceptual, que hemos descripto, y la otra corresponde a la definición conceptual. Tall & Vinner (1981) entienden la definición conceptual como el conjunto de palabras usadas para especificar un concepto; en esencia, hacen referencia a la definición matemática del mismo. Puede ocurrir que un estudiante responda a una actividad apelando únicamente a su imagen conceptual, y en este caso es factible tanto que obtenga respuestas correctas o no según qué parte de ella se activó y el grado de complejidad de la tarea. Estos estudiantes operan en un nivel más intuitivo y menos formal. Otros, en cambio, pueden sentirse cómodos con el lenguaje matemático e incluso independientemente de cómo se conforme su imagen conceptual, apelan cómodamente a la definición conceptual y operan con ella. También se dan los casos en los que el vínculo entre la imagen y la definición conceptual es más flexible, habiendo estudiantes que en un primer momento apelan a su imagen conceptual para aproximarse a una solución, o decidir cómo encarar una resolución de una actividad, pero formalizan su respuesta utilizando la definición conceptual. 5.2.4. Modelos intuitivos de límite Otro aporte teórico que nos permite comprender y analizar cómo el estudiante supone y trabaja el concepto de límite funcional, son los modelos intuitivos de límite presentados por Williams (1991) y utilizados en posteriores estudios por Juter (2005a, 2007). Debido a que estos modelos son “generados” por el estudiante en su mente a medida que recibe la enseñanza del concepto, pueden ser influenciados por las concepciones espontáneas. Los modelos intuitivos de límite, que de ahora en más denominamos modelos intuitivos, hacen referencia a modelos mentales que formarán parte de la imagen conceptual de la noción. Los modelos de límite desarrollados por Williams (1991, p.221) que adoptamos para este trabajo son: Dinámico-teórico: el límite es un valor que describe cómo una función se mueve cuando x tiende a un cierto punto. Dinámico-práctico: en este modelo el límite se decide insertando valores de x cada vez más cercanos a un número dado hasta que el valor del límite es alcanzado. Cota: el valor de un límite es un número más allá del cual la función no puede pasar. Formal: corresponde a la definición formal de límite. El modelo se caracteriza por reconocer la arbitrariedad de la cercanía de las imágenes de la función respecto del límite restringiendo los valores de x a un entorno de punto de estudio del límite. No alcanzable: el límite es un valor al cual una función se aproxima pero nunca alcanza. Aproximación: el valor del límite es