Las ecuaciones de movimiento de la Luna estudiadas por Hill 1 admiten la integral de las fuerzas vivas, la cual es fácil de obtener, multiplicando ...

Las ecuaciones de movimiento de la Luna estudiadas por Hill 1 admiten la integral de las fuerzas vivas, la cual es fácil de obtener, multiplicando la primera ecuación de (8.4) por . x y la segunda por . y , luego sumamos ambas ecuaciones entonces resulta: 2. yx + = 2 U + h la integral de la energía, donde U es la función potencial y h la constante de la energía. Nos proponemos ahora hallar una solución periódica del sistema de ecuaciones (8.4), lo cual significa obtener una función periódica con período τ, donde τ = 2πm; siendo m un número pequeño (para el sistema Tierra-Luna m es del orden: m ≅ 0.08). Para determinar la solución periódica vamos a suponer que x es una función par del tiempo, i.e., )t(x = )t(x − e y una función impar del tiempo: )t(y = − )t(y − 2. Además, en un semi-período la función )t(x cambia en − x ( t ) y la función y(t) en − y(t), luego )t(x = − ) 2 t(x τ + )t(y = − ) 2 t(y τ + donde 2 τ = π m. Por su condición de periodicidad la función x(t) admite un desarrollo en serie de Fourier, de la forma 3: )t(x = ∑ ν ν τ ν ) m (cosA = −∑ ν ν π+ ν ])mt( m [cosA = −∑ ν ν πν ν )(cos)t m (cosA . entonces, los coeficientes con ν impar son los que verifican los requisitos anteriores, de acuerdo a la definición de función par e impar. Por lo tanto, la función )t(x admite el desarrollo )t(x = ∑ ∞ =ν ν +ν 0 m t )12(cosA . una expresión análoga para la variable y(t), )t(y = ∑ ν ν τ ν ) m (senB = −∑ ν ν πν ν )(cos)t m (senB y finalmente resulta, )t(y = ∑ ∞ =ν ν +ν 0 m t )12(senB .