El segundo miembro de la ecuación diferencial (3.2) es el gradiente de U respecto del vector posición Rj, con lo cual el sistema de ED toma la forma, j.. j Rm = JRU ≡ U∇ para ello basta demostrar que, JRU = U∇ = jjj UUU ζ∂ ∂ + η∂ ∂ + ξ∂ ∂ El gradiente de la función U en la dirección RJ es, JRU = ∑ − = − − 1n 0k 2 jk kj2 RR mm k ξ∂ −∂ + η∂ −∂ + ξ∂ −∂ K RR J RR I RR j jk jk jk jk jk jk multiplicando cada término (derivada) por jk jk RR RR − − resulta JRU = ∑ − = − − 1n 0k 3 jk kj2 RR mm k J RR RRI RR RR j jk jk jk jk jk jk η∂ −∂ −+ ξ∂ −∂ − K RR RR j jk jk además, derivando la expresión (3.1) respecto de (ξ, η, ζ) se tiene: j jk jk RR RR2 ξ∂ −∂ = ( )kj2 ξ−ξ j jk jk RR RR2 η∂ −∂ = ( )kj2 η−η j jk jk RR RR2 ζ∂ −∂ = ( )kj2 ζ−ζ reemplazando estos resultados en la ecuación (3.3) resulta, 32 § 3.3 Integrales primeras del movimiento. 1 El gradiente de U = grad U = ∇ U =       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ k z j y i x U ≡ k z U j y U i x U ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂, es un vector en ℜ3. 2 Consultar Verhulst, F.; 2000, ”Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems”, pág. 16. JRU = ∑ − = ∗ − − 1n 0k 3 jk kj2 RR mm k [ ]K)(J)(I)( kjkjkj ζ−ζ+η−η+ξ−ξ ; la expresión entre corchetes es la diferencias de los vectores posición (Rj - Rk), luego se tiene JRU = ∑ − = ∗ − − 1n 0k 3 jk kj2 RR mm k ( )kj RR − Por lo tanto, queda demostrado que la fuerza que actúa sobre masa jm es igual al gradiente de la función potencial U 1: j.. j Rm = JRU = ∇ U. § 3.3 Integrales primeras del movimiento. El concepto de integral primera proviene de la solución o integral de una ecuación diferencial de orden n, representada por cualquier función que satisfaga la ED y que permanece constante “en toda la solución o curva integral” 2. Definición. Se define la integral general de una ED a toda función Φ de la variable x y de un cierto número de parámetros ic : )c,...,c,c,x( n21Φ tal que, cualquiera sean los valores de los parámetros, la función Φ es solución de la ED. Entonces, una integral primera (cantidad que se conserva o permanece constante durante el movimiento) en un sistema de EDs definido como: )x,t(fx ' = , nx ℜ∈ , f : A nn ℜ→ℜ⊆ es la función )t,x(Φ = constante a la largo de las curvas integrales o soluciones del sistema, i.e., )t),t(x(Φ = constante, ∀ t, y para toda solución )t(x del sistema de EDs. NOTA: Una integral del movimiento o constante del movimiento, en un problema dinámico, es una función de las posiciones y velocidades (o su equivalente en coordenadas generalizadas y momentos conjugados) que permanece constante a lo largo de la trayectoria del sistema en el espacio de fase. En la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias este concepto se generaliza al de integral primera. Una integral primera depende de las variables de la ecuación diferencial y sus derivadas y permanece constante respecto del "tiempo" u otra variable. Si sumamos todas las ecuaciones del sistema (3.2) se obtiene j.. j 1n 0j Rm∑ − = = ∑∑ − = ∗ − = 1n 1k 1n 0j 2k 3 jk kj RR mm − )RR( jk − ≡ 0 (3.4) § 3.3 Integrales primeras del movimiento. 1 Recordar que 2 j 2 j .. td/RdR = . 2 Consultar: Whittaker, E.T.; 1988, “Analytical Dynamics”, Ed. Cambridge University Press. Goldstein, H.; 2006, “Mecánica Clásica”, Capitulo 3. Ed. Reverté. 33 Porqué es idénticamente nula ?. A cada término de la suma, por ejemplo: k2 3 jk kj RR mm − )RR( jk − podemos asociarle el término k 2 3 kj jk RR mm − )RR( kj − , con lo cual se demuestra que j.. j 1n 0j Rm∑ − = ≡ 0; luego, integrando 1 esta igualdad resulta: j . j 1n 0j Rm∑ − = A (3.5) Esta ecuación es una integral, donde A es un vector constante; en realidad, esta expresión en coordenadas cartesianas representa tres integrales, i.e.,         ++ ζηξ∑ − = KJIm j . j . j . j 1n 0j = a1 I + a2 J + a3 K entonces igualando las componentes vectoriales se tiene: 1j .1n 0j j am =ξ∑ − = , 2j .1n 0j j am =η∑ − = , 3j .1n 0j j am =ζ∑ − = representan tres integrales cartesianas. Multiplicando la ecuación (3.5) por dt, en ambos miembros e integrando término a término, resulta jj 1n 0j Rm∑ − = = A t + B (3.6) una nueva integral del movimiento, cuya expresión cartesiana resulta: 11j 1n 0j j btam +=ξ∑ − = , 22j 1n 0j j btam +=η∑ − = , 33j 1n 0j j btam +=ζ∑ − = (3.6a) Estas ecuaciones representan las integrales del baricentro o centro de gravedad del sistema de n cuerpos, donde A y B son vectores constantes y {ai} y {bi}, i = 1,2,3 son sus componentes cartesianas. Si indicamos con {ξG, ηG, ζG} las coordenadas del baricentro del sistema de n puntos masa y además, si M = ∑ − = 1n 0j jm es la masa total del sistema, entonces se deducen las siguientes fórmulas 2: M ξG = ∑ ξ j jm , M ηG = ∑ η j jm , M ζG = ∑ ζ j jm . § 3.3 Integrales primeras del movimiento. 1 El concepto físico clásico es: masa x aceleración igual a fuerza o también igual al gradiente de una función potencial, la cual sólo depende de la posición, denomina función de punto. Multiplicando estas tres ecuaciones por los vectores unitarios {I,J,K} y sumando e indicando además, con RG el vector de posición del baricentro del sistema resulta: M RG = ∑ − = 1n 0j jj Rm y en virtud de la ecuación (3.6), se tiene: M RG = A t +