Respuesta impulsiva de un filtro discreto
Representaremos las señales discretas por funciones definidas en Z con valores enC. Dadasdos señales u,v : Z→ C se define su convolución como la señal z dada por
z(n) =
∞∑k=−∞u(k)v(n− k) (n∈Z)supuesto, claro está, que dicha serie converge para todo n∈Z. La señal z se llama la convoluciónde las señales u y v y se representa por u ∗ v. Esta convolución de sucesiones tiene análogaspropiedades a la convolución de funciones por medio de una integral.
La señal δ : Z→ C definida por δ(n) = 0 para n , 0 y δ(0) = 1 se llama señal impulso unidado señal delta de Dirac discreta. Dada una señal discreta x : Z→ C, para todo n∈Z se verifica laigualdad:
x(n) =
∞∑k=−∞x(k)δ(n− k)pues dicha suma consta realmente de un único sumando no nulo que se obtiene para k = n.Representaremos por δk la función δk(n) = δ(n− k), es decir, con la notación ya usada variasveces, δk = τkδ. La igualdad anterior nos dice que la sucesión de funciones xN =∑Nk=−N x(k)δkconverge puntualmente a la función x.
Supongamos ahora que L : X → Y un filtro donde X e Y son espacios vectoriales normadosde sucesiones y que se verifica que xN converge a x en la norma de X (es decir, ‖xN − x‖ → 0).Entonces, la linealidad y continuidad de L permite escribir:
Lx = L( lı́mN→∞∑k=−Nx(k)δk)= lı́mN→∞∑k=−Nx(k)Lδk =∞∑k=−∞x(k)Lδk
Como L es invariante en el tiempo se verifica que Lδk = L(τkδ) = τk(Lδ). Poniendo y = Lx, yllamando h = Lδ, la igualdad anterior nos dice que para todo n∈Z se verifica que:
y(n) =
∞∑k=−∞x(k)(τkh)(n) =
∞∑k=−∞x(k)h(n− k)
Es decir, y = x ∗ h. En consecuencia, la función h, que es es la respuesta del filtro a la funciónimpulso unidad, caracteriza al filtro. Dicha función se llama la función respuesta impulsiva delfiltro.