En este capítulo nos ocuparemos de estudiar cuanto está relacionado con el límite de las sucesiones de variables aleatorias. Este estudio requiere ...

En este capítulo nos ocuparemos de estudiar cuanto está relacionado con el límite de las sucesiones de variables aleatorias. Este estudio requiere en primer lugar, introducir los tipos de convergencia apropiados a la naturaleza de las sucesiones que nos ocupan, para en segundo lugar obtener las condiciones bajo las que tienen lugar las dos convergencias que nos interesan: la convergencia de la sucesión de variables a una constante (Leyes de los Grandes Números) y la convergencia a otra variable (Teorema Central del Límite). El estudio de esta segunda situación se ve facilitado con el uso de una herramienta conocida como función característica de la cual nos habremos ocupado previamente. Dos sencillos ejemplos relacionados con la distribución binomial no servirán de introducción y nos ayudarán a situarnos en el problema. El primero es un resultado de J. Bernoulli. Ejemplo 5.1. Si repetimos n veces un experimento cuyo resultado es la ocurrencia o no del suceso A, tal que P (A) = p, y si la repeticiones son independientes unas de otras, la variable Xn =número de ocurrencias de A, tiene una distribución B(n, p). La variable Xn/n representa la frecuencia relativa de A y sabemos que E(Xn) = np/n = p, y var(Xn) = p(1− p)/n. Si aplicamos la desigualdad de Chebyshev, P (|Xn/n − p| ≥ ε) ≤ var(Xn/n)/ε^2 = p(1− p)/(nε^2) → 0. Deducimos que la frecuencia relativa de ocurrencias de A converge, en algún sentido, a P (A). Ejemplo 5.2. El segundo ejemplo ya fue expuesto en la página 56 y no lo repetiremos aquí. Hacía referencia a la aproximación de la distribución binomial mediante la distribución de Poisson. Vimos que cuando tenemos un gran número de pruebas Bernoulli con una probabilidad de éxito muy pequeña de manera que limn npn = λ, 0 < λ < +∞, la sucesión de funciones de cuantía de las variables aleatorias Xn ∼ B(n, pn) converge a la función de cuantía de X ∼ Po(λ). Dos ejemplos con sucesiones de variables binomiales que han conducido a límites muy distintos. En el primero, el valor límite es la probabilidad de un suceso, y por tanto una constante; en el segundo la función de cuantía tiende a otra función de cuantía. 5.2 Tipos de convergencia Comenzaremos por formalizar el tipo de convergencia que aparece en el primer ejemplo. Para ello, y también para el resto de definiciones, sobre un espacio de probabilidad (Ω,A, P ) consideremos la sucesión de variables aleatorias {Xn} y la variable aleatoria X. Definición 5.1. Decimos que {Xn} converge a X en probabilidad, Xn P−→ X, si para cada δ > 0, limn P{ω : |Xn(ω)−X(ω)| > δ} = 0. No es esta una convergencia puntual como las que estamos acostumbrados a utilizar en Análisis Matemático. La siguiente sí es de este tipo. Definición 5.2. Decimos que {Xn} converge casi seguramente1 a X (o con probabilidad 1), Xn a.s.−→ X, si P ({ω : limn Xn(ω) = X(ω)}) = 1. 1Utilizaremos la abreviatura a. s., que corresponde a las iniciales de almost surely, por ser la notación más extendida El último tipo de convergencia involucra a las funciones de distribución asociadas a cada variable y requiere previamente una definición para la convergencia de aquellas. Definición 5.3. Sean Fn, n ≥ 1, y F funciones de distribución de probabilidad. Decimos que la sucesión Fn converge débilmente2 a F , Fn ω−→ F , si limn Fn(x) = F (x), ∀x que sea punto de continuidad de F . Definición 5.4. Decimos que {Xn} converge en ley a X, Xn L−→ X, si FXn ω−→ FX . Teniendo en cuenta la definición de Fn y F , la convergencia en ley puede expresarse también Xn L−→ X ⇐⇒ limn P (Xn ≤ x) = P (X ≤ x), ∀x que sea punto de continuidad de F . Las relaciones entre los tres tipos de convergencia se establecen en el siguiente teorema. Teorema 5.1. Sean Xn y X variables aleatorias definidas sobre un mismo espacio de probabilidad entonces: Xn a.s.→ X ⇒ Xn P→ X ⇒ Xn L→ X Prueba. 1) Xn a.s.→ X ⇒ Xn P→ X Para δ > 0 sean A = {ω : limn Xn(ω) 6= X(ω)} y An = {ω : |Xn(ω)−X(ω)| > δ}, entonces3 lim supAn ⊂ A y P (lim supAn) = 0, y de aquí limP (An) = 0. 2) Xn P→ X ⇒ Xn L→ X Si x es tal que P (X = x) = 0, se verifica que P (X ≤ x− ε) = P (X ≤ x− ε,Xn ≤ x) + P (X ≤ x− ε,Xn > x) ≤ P (Xn ≤ x) + P (|Xn −X| > ε). (5.1) y P (Xn ≤ x) = P (Xn ≤ x,X ≤ x+ ε) + P (Xn ≤ x,X > x+ ε) ≤ P (X ≤ x+ ε) + P (|Xn −X| > ε). (5.2) Expresando conjuntamente las dos desigualdades tenemos: P (X ≤ x− ε)− P (|Xn −X| > ε) ≤ ≤ P (Xn ≤ x) ≤ P (X ≤ x+ ε) + P (|Xn −X| > ε), pero limn P (|Xn −X| > ε) = 0 para cualquier ε positivo por lo que: P (X ≤ x−ε) ≤ lim infn P (Xn ≤ x) ≤ lim supn P (Xn ≤ x) ≤ P (X ≤ x+ε) y, puesto que P (X = x) = 0 es equivalente a que F (x) = P (X ≤ x) sea continua en x, se sigue el resultado. Las convergencias casi segura y en probabilidad tienen distinta naturaleza, mientras aquella es de tipo puntual, esta última es de tipo conjuntista. El ejemplo que sigue ilustra bien esta diferencia y pone de manifiesto que la contraria de la primera implicación no es cierta. Ejemplo 5.3. Vamos a ver que la convergencia en probabilidad no implica la convergencia casi segura. Como espacio de probabilidad consideraremos el intervalo unidad dotado de la σ-álgebra de Borel y de la medida de Lebesgue, es decir, un espacio de probabilidad uniforme en [0,1]. Definimos la sucesión Xn = 1In , ∀n, con In = [ p 2q , p+1 2q ], siendo p y q los únicos enteros positivos que verifican, p + 2q = n y 0 ≤ p < 2q. Obviamente q = q(n) y limn q(n) = +∞. Los primeros términos de la sucesión son: n = 1, q = 0, p = 0 : X1 = 1[0,1[; n = 2, q = 1, p = 0 : X2 = 1[0, 12 [ ; n = 3, q = 1, p = 1 : X3 = 1[ 12 ,1[ ; n = 4, q = 2, p = 0, X4 = 1[0, 14 [ ; n = 5, q = 2, p = 1 : X5 = 1[ 14 , 1 2 [ ; n = 6, q = 2, p = 2 : X6 = 1[ 12 , 3 4 [ ; n = 7, q = 2, p = 3 : X7 = 1[ 34 ,1[. Observemos que si X = 0, ∀δ > 0 se tiene λ{ω : |Xn(ω)| > δ} = λ{ω : |Xn(ω)| = 1} = λ(In) = 2−q, 2q ≤ n < 2q+1 y Xn λ−→ 0; pero dada la construcción de las Xn en ningún ω ∈ [0, 1] se verifica limXn(ω) = 0. La converg