artimañas topológicas para «probar» que tenían acceso a la cuarta dimensión y estafar a la gente para que les diese dinero. Fue un fallo de los matemáticos realmente, habían puesto este particular mecanismo en marcha y los físicos lo cogieron y corrieron con él. Luego, la cultura popular, sin la restricción de la necesidad de estar cerca de una especulación razonable, llevó la idea hasta sus límites; tal como, más recientemente, la idea de la clonación ofrecida por los medios de un planeta poblado por copias exactas de seres humanos, esto a la vez que los biólogos fracasaban duplicando una célula. Con la oveja Dolly, la realidad alcanzó a la ficción, pero la clonación de humanos no existe todavía. La cuarta dimensión ha ido mucho mejor, y, en todo caso, ahora la realidad está por delante de la ficción, excepto en lo que a viajar en el tiempo se refiere. El concepto ha sido totalmente respetable en matemáticas y física durante un siglo y los científicos ahora emplean, de manera rutinaria, conceptos matemáticos con un número cualquiera de dimensiones: cuatro, diez, cien, un millón... Incluso infinitas. Las imágenes de espacios multidimensionales se han extendido a la biología y la economía, junto con las técnicas matemáticas asociadas. La idea puede sonar descabellada, pero es muy natural en realidad. Si bien su pertinencia en este capítulo es una aplicación directa de una geometría de cuatro dimensiones a, sorprendentemente, los virus. Puede parecer una idea extraña, pero la cuarta dimensión y sus primas mayores son de gran ayuda en la comprensión de cómo los virus ponen juntas sus unidades de proteínas. Cuando los matemáticos empiezan a hablar con términos familiares pero lo que dicen no tiene sentido, normalmente es porque o bien se han apropiado de palabras y les han dando un significado totalmente diferente o bien porque han extendido el significado usual a un contexto más amplio. Un grupo no es simplemente una colección de objetos similares, un anillo no tiene nada que ver con la joyería, ni siquiera con los círculos y no constará de cabeza, tronco y extremidades un cuerpo matemático. Términos como «dimensión», «espacio» y «geometría» se encuentran en la segunda categoría y es más fácil malinterpretarlos, porque los significados nuevos no están tan claramente diferenciados de los anteriores. Una regla no escrita para extender el significado de una palabra es que debería conservar su significado original en su contexto original. Está bien presentar un concepto nuevo de, por ejemplo, «espacio», siempre y cuando los espacios que nos son familiares de la geometría de Euclides (el plano y bueno, el espacio) estén todavía incluidos. Siempre que este convenio se cumpla, no te confundirás al aplicar el nuevo significado en el viejo contexto. Aunque quizá te confundas en un contexto nuevo si asumes que las características específicas del antiguo todavía siguen vigentes, tal como que «espacio» es algo en lo que los humanos pueden o no vivir. «Dimensión» es un buen ejemplo. El plano tiene dos dimensiones, nuestra noción familiar de espacio tiene tres. Cualquier extensión de la palabra a otros «espacios» debería preservar estos hechos. No obstante, la definición tradicional —el número de direcciones independientes— no es sagrada. Ni tan siquiera es sagrada en el contexto tradicional, puedes cambiar la definición siempre que la respuesta siga siendo dos y tres, respectivamente. Tradicionalmente, a veces hablamos de «dimensiones» individuales. El largo es una dimensión, lo mismo que el ancho y el alto. Hay que tener un poco de cuidado, porque la misma palabra puede significar también «tamaño». La dimensión más larga, en este sentido, de una caja es la que sea más grande de estas tres, pero realmente la «dimensión» más larga es la diagonal, que es mayor que cualquiera de estas. Los matemáticos y la ciencia se han decidido por una noción más general de dimensión, en la cual, podemos decir con seguridad, algún espacio tiene, por ejemplo, diez dimensiones, sin decir cuáles son estas dimensiones. El énfasis ha cambiado: el espacio tiene dimensión diez. No definimos cosas llamadas dimensiones y luego las contamos para probar que hay diez. Aclarado el punto, listas de diez cosas sí existen, pero no llamamos a estas cosas dimensiones. Las llamamos coordenadas. Los matemáticos no presentaron espacios de muchas dimensiones por diversión o para impresionar a la gente. Lo hicieron porque lo necesitaban. A finales del siglo XIX, una variedad de progresos, motivados por todo, desde la geometría pura a la mecánica celeste, parecían apuntar en la dirección de una misma idea. Casi al mismo tiempo, los físicos empezaron a darse cuenta de que muchas claves descubiertas cobraban más sentido si se formalizaban en un «espaciotiempo» de cuatro dimensiones: las tres dimensiones tradicionales del espacio más una extra del tiempo. Pero el tiempo no era la cuarta dimensión, solo una posibilidad. Abreviando una historia que es larga, la dimensión de un espacio es el número de coordenadas independientes necesarias para especificar las cosas que pertenecen a él. Espacios con muchas dimensiones proporcionan un modo conveniente de describir sistemas en los que le podemos dar los valores que queramos a muchas variables distintas. El «espacio» de todas esas elecciones tiene una estructura natural, una generalización directa de las dos y tres dimensiones matemáticas familiares. En particular, podemos especificar qué significa para dos «puntos» en uno de estos espacios estar cerca uno de otro; las variables que se corresponden la una con la otra deberían tener valores que estén cerca el uno del otro. Además, los «puntos» no necesitan realmente ser puntos. El plano es un conjunto de puntos, pero puede también ser pensado como, por ejemplo, una colección de elipses. El conjunto de todas las elipses en el plano es un objeto matemático interesante por derecho propio. ¿Cómo puedes especificar una elipse? Hagámoslo para la geometría euclídea, donde las imágenes nos son m