de Euler para los poliedros. Un cálculo simple usando la fórmula demuestra que la envoltura de un virus compuesta meramente por hexámeros y pentáme...

de Euler para los poliedros. Un cálculo simple usando la fórmula demuestra que la envoltura de un virus compuesta meramente por hexámeros y pentámeros, debe tener exactamente 12 pentámeros. El método no especifica dónde se dan, pero prueba que tienen que estar. Caspar y Klug siguieron estas pistas topológicas. Primero observaron los virus helicoidales y luego consideraron los icosaédricos. Aquí, el problema matemático básico es agrupar unidades idénticas para obtener formas parecidas a la esfera, teniendo presente que la relación entre cada unidad y las adyacentes es probable que esté limitada por vínculos químicos disponibles. El caso más simple es cuando hay solo una de esas relaciones, geométricamente esto significa que cada unidad está rodeada exactamente por la misma configuración de unidades adyacentes. Esto, a su vez, implica un alto grado de simetría, que para abreviar llamaré «simetría perfecta» y, de manera inmediata, sugiere considerar los sólidos regulares. Entre estos, el icosaedro es el candidato más convincente; de todos los sólidos regulares, es la mejor aproximación a la esfera. Además, las imágenes por microscopio electrónico de varios virus parecen ser icosaedros, aunque Caspar y Klug indicaron que esto «no necesariamente significa que la simetría en el nivel de las moléculas es icosaédrica». FIGURA 28. Ensamblaje de 60 unidades idénticas de modo que cada una tiene la misma relación con sus unidades vecinas. y Caspar y Klug encontraron inspiración de una fuente poco común: el arquitecto Buckminster Fuller. Fuller tenía un vínculo con las formas geométricas y la cúpula geodésica es una de sus ideas más famosas, un cierre aproximadamente esférico hecho ensamblando un gran número de paneles triangulares unos con otros. Esta cúpula alojó el pabellón de Estados Unidos en la Exposición Universal de 1967 que tuvo lugar en Montreal y versiones hemisféricas se pueden encontrar en el Proyecto Edén en Cornualles. No se puede hacer una cúpula geodésica a partir de triángulos equiláteros colocando 6 en un vértice porque eso formaría un plano. Fuller, siguiendo el ejemplo de varios predecesores, se dio cuenta de que triángulos que eran casi equiláteros podían ensamblarse unos con otros para hacer la cúpula. Esta disposición no tenía una simetría perfecta, en cambio, los triángulos tenían dos tipos diferentes de entorno. En consistencia con la fórmula de Euler, algunos deben estar dispuestos de modo que 5 de ellos formen un vértice, mientras que el resto se juntarán 6 en un vértice. Caspar y Klug se dieron cuenta de que aunque las unidades adyacentes se sujetan las unas a las otras generalmente por las mismas disposiciones de vínculos químicos, estos vínculos pueden flexionarse un poco, de modo que los ángulos de los vínculos pueden ser ligeramente diferentes para unidades que no están simétricamente relacionadas. Los experimentos realizados por el químico ganador del Premio Nobel, Linus Pauling, sugieren que los ángulos de los vínculos pueden variar hasta 5º respecto a los valores medios, lo que permite cierta flexibilidad. eómetras expertos, pero no para la mayoría de los matemáticos. Son sólidos que recuerdan al icosaedro pero son menos regulares. Se pueden construir a partir de un recubrimiento del plano (véase la pág. 195) con triángulos equiláteros. Lo primero es escoger dos números a y b (véase la figura 29). Empezando por un vértice, hay que trasladarse a unidades a la derecha y b unidades con un ángulo de 120º respecto a esta dirección para obtener un segundo vértice; luego localizar el tercer vértice de modo que se forme un gran triángulo equilátero conteniendo muchos vértices del mosaico inicial. Veinte de estos triángulos pueden entonces ensamblarse unos con otros para formar un poliedro icosaédrico con 10(a2 + ab + b2) + 2 vértices, de los cuales 12 son pentámeros y el resto hexámeros. Los pentámeros siempre están en los ejes de la simetría icosaédrica, las «esquinas». Ejemplos de arquitectura de pseudoicosaedros se dan en la tabla 8. FIGURA 29. Construcción del triángulo de base de un pseudoicosaedro. La teoría de Caspar-Klug se aplica a muchos virus icosaédricos diferentes, pero hay excepciones. Hace cuarenta años, Nicholas Wrigley observó que algunos virus icosaédricos no tenían esta estructura de pseudoicosaedro. En vez de eso, podían describirse por lo conocido como poliedros de Goldberg, que son paquetes hexagonales en la superficie de un icosaedro.6 Sin embargo, incluso estas estructuras son insuficientes para clasificar las disposiciones de los capsómeros en los virus icosaédricos, por ejemplo, en 1991, Robert Liddington y sus colegas indicaron que el poliomavirus tiene muchos más pentámeros que los 12 encontrados en el pseudoicosaedro y los poliedros de Goldberg.7 De manera que era necesaria alguna descripción matemática más general. Llegado este punto, los biólogos tenían otras cosas en mente, pero los matemáticos todavía estaban dándole vueltas a las excepciones. Alrededor del año 2000, la matemática nacida en Alemania, Reidun Twarock, y su equipo de investigación de la Universidad de York, desarrollaron una teoría más general de la geometría de los virus basada en los principios de la simetría casi análogos a la teoría de grupos del icosaedro.8 TABLA 8. Números para los virus pseudoicosaédricos Había solo una diferencia: ahora la geometría tenía lugar en cuatro dimensiones, no en tres. La cuarta dimensión... Suena a historia de ciencia ficción, un reino escondido colindante con nuestro mundo del día a día por el que merodean todo tipo de extrañas criaturas... De hecho, así es como el concepto se retrata en La máquina del tiempo de H.G. Wells de 1895, en el que el viajero del tiempo se transporta a un punto lejano en el futuro de la humanidad, donde esta se encuentra dividida en los lánguidos Eloi y los grotescos Morlocks. Pero Wells basa su n