estén exactamente una sobre otra, supuestamente permitiendo a la lluvia y a los rayos de Sol llegar a todas las hojas de manera eficiente. Indica que el mismo razonamiento funciona para cualquier otro número irracional y que la razón áurea puede obtenerse a partir de muchas sucesiones de números, no solo a partir de la sucesión de Fibonacci. También podría haber indicado que aproximaciones como 5/13 que aparecen en las plantas reales, las cuales estamos tratando de explicar, son racionales. Remarca, con desdén, que «todas las especulaciones de este tipo se remontan a una escuela de idealismo místico». En 1917, cuando apareció por primera vez el libro de Thompson, esto debió de parecer un comentario perspicaz. La razón áurea y la sucesión de Fibonacci tenían un atractivo de culto y dieron lugar a una vasta literatura que era amplia en especulaciones y escasa en hechos. Sin embargo, trabajos más recientes han establecido que el ángulo áureo es una característica genuina de la numerología de las plantas, lo mismo que sus aproximaciones con fracciones de los números de Fibonacci. Las razones van más allá del misticismo de los números, pasando por simplemente una descripción de la geometría y teniendo en cuenta el dinamismo de la planta mientras crece. Los progresos en este problema han ocurrido en una serie de pasos y podemos, temporalmente, llevar la historia un poco más allá en este punto, siguiendo los desarrollos más modernos, antes de volver al orden histórico en el siguiente capítulo, con la tercera revolución en biología. Las características especiales del ángulo áureo son más fáciles de apreciar si recurrimos a una característica relacionada con las plantas, no a la posición de los primordios cuando los primeros brotes están creciendo, sino a la posición de las semillas en la flor de una planta madura. Los números de Fibonacci se encuentran aquí también, al igual que en la espiral generatriz de Hofmeister, porque las colocaciones de las semillas están determinadas por patrones de primordios en los brotes jóvenes. Estos patrones no se activan hasta que la planta madura, pero se crean por el mismo mecanismo que genera las hojas. Así que, de nuevo, el asunto principal es la geometría de los primordios, la cual genera no solo las hojas de la planta, sino que también genera muchos de los otros órganos interesantes, incluyendo los pétalos y las semillas en las cabezas florales. Ya hemos visto en la figura 9 (véase pág. 43) que las semillas en un girasol están puestas juntas de manera que el ojo humano se ve atraído inmediatamente a dos familias de espirales entreveradas, una en el sentido de las agujas del reloj y la otra en el sentido contrario. Si cuentas cuántas espirales hay en cada familia, como de costumbre, te encuentras con dos números de Fibonacci consecutivos. Por cierto, estas espirales no son la espiral generatriz, la cual está enrollada sin apretar y no es evidente a la vista, a menos que unas los primordios en el orden en que se forman. Los pétalos se forman en el extremo exterior de una familia de espirales, de nuevo misteriosamente determinados por el patrón original de los primordios que están especializados en formar pétalos, no semillas. De modo que un número de Fibonacci de espirales implica un número de Fibonacci de pétalos. En resumen, basta con explicar por qué los números de Fibonacci aparecen en las espirales. En 1979, Helmut Vogel, de la Universidad Técnica de Múnich, consideró una representación matemática sencilla de la geometría de las semillas del girasol y la usó para explicar por qué el ángulo áureo es especialmente apropiado para estas ordenaciones.1 En su modelo, el enésimo primordio es colocado en un ángulo igual a n veces 137,5º y su distancia desde el centro es proporcional a la raíz cuadrada de n. Estos dos números determinan su localización y la espiral generatriz de Hofmeister se revela como la conocida como espiral de Fermat, la cual al enrollarse se va apretando más a medida que nos movemos del exterior al centro. Usando esta fórmula, Vogel averiguó qué sucedería en la cabeza de semillas si se emplease la misma espiral generatriz, pero se cambiase el ángulo áureo de 137,5º, aunque solo fuese un poco. El resultado, mostrado en la figura 11, es llamativo. Solo el ángulo áureo hace que las semillas estén colocadas muy juntas, sin agujeros o montarse una sobre otra. Incluso un cambio en el ángulo de una décima parte de un grado provoca que el patrón se rompa en una única familia de espirales, con huecos entre las semillas. FIGURA 11. Patrones de la espiral de Fermat. A la izquierda: separadas 137º, algo menos que el ángulo áureo. En el medio: separadas 137,5º, el ángulo áureo. A la derecha: separadas 138º, un poco más que el ángulo áureo. El modelo de Vogel explica por qué el ángulo áureo es especial y apoya la visión de que desempeña un papel activo en la filotaxis y no es solo una coincidencia numérica vista a través de unos ojos místicos. Sin embargo, la explicación completa es mucho más profunda. Resulta que, justo como Hofmeister había dicho, la dinámica de las plantas mientras crecen provoca que los primordios se empujen en relaciones con el ángulo áureo. A medida que las células crecen y se mueven, crean fuerzas que afectan a las células vecinas. Las fuerzas son un ingrediente esencial de la mecánica, la cual es la parte de la física matemática relacionada con el movimiento de objetos. La mecánica nació en los experimentos que Galileo hizo alrededor de 1600, cuando lanzó unas gotas de aceite, bajo la acción de un campo magnético que hacía que se repeliesen entre ellos, de modo que se organizaban en patrones mientras emigraban en una dirección radial. El resultado dependía de la fuerza del campo magnético y los intervalos entre las gotitas, pero en la mayoría de los patrones habituales que se desarrollaban, las gotitas espontáneamente se agrupaban en familias de espirales justo como las de la cabeza de un girasol, con el á