3.6 El teorema del residuo. TEOREMA DEL RESIDUO Si P x( ) es un polinomio entonces el residuo de la división P x( ) x a( ) es P a( ) DEMOSTRACIÓN:...

3.6 El teorema del residuo. TEOREMA DEL RESIDUO Si P x( ) es un polinomio entonces el residuo de la división P x( ) x a( ) es P a( ) DEMOSTRACIÓN: Del algoritmo de la división se tiene que: P x( ) x a Q x( ) R x( ) x a = y es posible escribir P x( ) Q x( ) x a( ) R x( )= , de modo que evaluando ésta expresión en x a= resulta . . . P a( ) Q a( ) a a( ) R a( )= = 0 R a( ) y puesto que el grado del divisor es uno, entonces el grado del residuo es cero, es decir, es una constante. En resumen P a( ) R= cte= . la respuesta es entonces P 3( ) 155= . La evaluación directa de éste polinomio en cambio, no es tan sencilla . . . P 3( ) 2 3( ) 5 8 3( ) 3 9 3( ) 2 9 3( ) 7= = 2 243( ) 8 27( ) 9 9( ) 9 3( ) 7 = 486 216 81 27 7 = 486 331 = 155 Empleando el teorema del residuo es posible evaluar rápidamente cualquier polinomio en cualquier punto. Ejemplo 14. Cuando el polinomio: P x( ) x 3 2 x 2 k x 1= se divide por x 3 , el residuo es 23 . Hallar el valor del coeficiente k . Solución: Por la división sintética se tiene: 3 1 2 k 1P x( ) x 3( ) :  3 15 45 3 k 1 5 15 k 44 3 k