4.4.4 Caso III: Factores cuadráticos no repetidos. Solución por substitución Supóngase que el denominador Q x( ) de una función racional propia f x( ) P x( ) Q x( ) = contiene un factor cuadrático irreducible en los reales de la forma a x 2 b x c (el cual siempre es posible escribir como x 2 p x q factorizando el coeficiente a) que genera dos raíces complejas conjugadas y se factoriza en la forma : x 2 p x q x α x β = donde α y β son números complejos. Del teorema II, se deduce que la función racional : P x( ) Q x( ) P x( ) a x 2 p x q ( ) Q1 x( ) = P x( ) a x α ( ) x β ( ) [ ] Q1 x( ) = se desarrolla en: P x( ) Q x( ) A x B x 2 p x q P1 x( ) a Q1 x( ) + = de donde se deduce que : x α x β P x( ) Q x( ) A x B ( ) P1 x( ) a Q1 x( ) [ ] = Por lo tanto, haciendo x α (ó x β en su caso), se obtendrá : P α ( ) a Q1 α ( ) A α B ( ) 0 = Igualando ahora las partes reales e imaginarias respectivas de éstos números complejos en ésta ecuación, se obtendrá un sistema de dos ecuaciones simultáneas cuyas incógnitas son los coeficientes A y B de la fracción parcial asociada con tal factor cuadrático. Repitiendo éste procedimiento con cada uno de los factores cuadráticos que contenga el denominador de la función racional, se obtendrá el desarrollo de tal función como una suma de fracciones simples. Ejemplo 8. Desarrollar en fracciones parciales: F x( ) 3 x 3 5 x 2 2 x 2 2 x 1 =