Ejemplo 10. Desarrollar en fracciones parciales : f x( ) 2 x 3 4 x 2 3 x 8 6 x 2 x 2  3 x 2 4 x 2 = Solución : Notemos que f...

Ejemplo 10. Desarrollar en fracciones parciales : f x( ) 2 x 3 4 x 2 3 x 8 6 x 2 x 2  3 x 2 4 x 2 = Solución : Notemos que f x( ) es propia y contiene dos factores cuadráticos distintos en el denominador, sin embargo el primer factor no es irreducible en los reales pues se factoriza como . . . 6 x 2 x 2 3 x 2( ) 2 x 1( )= y en realidad se trata de dos factores lineales, por lo tanto se propone, de acuerdo a los teoremas 1 y 2 , el desarrollo : 2 x 3 4 x 2 3 x 8 6 x 2 x 2  3 x 2 4 x 2  A 3 x 2 B 2 x 1  C x D 3 x 2 4 x 2 = Sumado las fracciones del miembro izquierdo e igualando los numeradores de ambos miembros, se obtiene la ecuación básica : 2 x 3 4 x 2 3 x 8 = = A 2 x 1( ) 3 x 2 4 x 2  B 3 x 2( ) 3 x 2 4 x 2  C x D( ) 3 x 2( ) 2 x 1( ) Substituyendo la raz x 1 2 = , se obtiene . . . 2 1 2     3  4 1 2     2  3 1 2      8 = = A 2 1 2      1     B 3 2 2     2     3 1 2     2  4 1 2      2     C 1 2      D    2 1 2      1     es decir . . . 35 4 B 7 2      3 4     =  B 10 3 = Substituyendo la raz x 2 3 = , se obtiene . . . 2 2 3     3  4 2 3     2  3 2 3      8 = = A 4 3     1     3 2 3     2  4 2 3      2     B 0( ) C 2 3      D    0( ) es decir . . . 98 27 14 A=  B 7 27 = Substituyendo éstos valores en la ecuación básica y simplificando se llega a : 2 x 3 4 x 2 3 x 8  7 27     2 x 1( ) 3 x 2 4 x 2  10 3     3 x 2( ) 3 x 2 4 x 2  C x D( ) 6 x 2 x 2  = = 256 9 x 3 463 27 x 2 236 27 x 374 27     C x D( ) 6 x 2 x 2  desarrollando y sumando términos semejantes . . . 238 9 x 3 355 27 x 2 317 27 x 158 27  6 C x 3 6 D C( ) x 2 D 2 C( ) x 2 D= y por igualación de los coeficientes de potencias iguales de x en ambos miembros, se obtiene : 6 C 238 9 =  C 119 27 = 2 D 158 27     =  D 79 27 = El desarrollo buscado en fracciones parciales para f x( ) es : 2 x 3 4 x 2 3 x 8 6 x 2 x 2  3 x 2 4 x 2  7 27 3 x 2( ) 10 3 2 x 1( )