El siguiente problema que debemos resolver ahora es: Dada una matriz cuadrada, ¿cómo determinar su matriz inversa ? Para ello, consideremos las s...

El siguiente problema que debemos resolver ahora es: Dada una matriz cuadrada, ¿cómo determinar su matriz inversa ? Para ello, consideremos las siguientes definiciones . . . Para una matriz A cuadrada e inversible de tamaño [n n ] se definen : I. La potencia n-ésima de la matriz A o de su inversa es el producto de n factores A n A A A ............ A= A 1 n A 1 A 1 A 1 .......... A 1= II. La potencia cero de la matriz A es la matriz identidad del mismo tamaño. A 0 In= Ley de los exponentes para la multiplicación matricial A n A m A n m( ) = TEOREMA 4. Si A es una matriz inversible entonces . . . * A 1  1 A= * A n es inversible y su inversa es A n  1 A 1 n = DEMOSTRACIÓN . Por definición, si A es inversible su inversa es A 1 y se cumple que : A A 1 I= y A 1 A I= (*) Pero de éstas igualdades, también se puede concluir que la matriz inversa de A 1 es A ,de donde se deduce que la matriz A( ) 1 también es inversible Pedro Ferreira Herrejón 313 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH Denotando a la inversa de A 1 por A 1  1 se cumplen entonces las siguientes condiciones : A 1  1 A 1 I= y A 1 A 1  1  I= (**) Al comparar las expresiones (*) y (**) y recordar que la matriz inversa de una matriz dada es única , sólo se puede concluir que A 1  1 A= Ahora, obsérvese la secuencia . . . A A 1 I= A I A 1 I= puesto que A I A= A A A 1  A 1 I= puesto que A A 1 I= A A( ) I A 1 A 1  I= A 2 A A 1  A 1 2  I= A 3 I A 1 3  I= A 3 A A 1  A 1 3  I= A 4 I A 1 4  I= etc. etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A n A 1 n  I= y por lo tanto, la inversa de A n es A 1 n 6.5 Matrices elementales . Cálculo de la matriz inversa . DEFINICIÓN : Una matriz es elemental si : es cuadrada se obtiene de la matriz identidad In , realizando una sola operación elemental Ejemplo 19. Las siguientes son matrices elementales: E1 1 0 0 2     = . Esta matriz se obtuvo de I2 multiplicando el segundo renglón por 2 : E2 1 0 0 0 1 0 3 0 1         = . Esta matriz se obtuvo de I3 sumado al primer renglón , el tercero multiplicado por 3 Pedro Ferreira Herrejón 314 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH E3 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1           = . Esta matriz se obtuvo de I4 intercambiando los renglones 2° y 3° Si E es una matriz elemental y A es una matriz de tamaño [n m ], entonces la multiplicación E A realiza la misma operación sobre A que la operación hecha sobre In para obtener E . Para ilustrar ésta afirmación, consideremos por ejemplo las matrices. . . A 3 0 2 1 2 1 4 1 5 3 6 4         = ; E 1 0 0 0 1 0 0 4 1         = La matriz E se obtuvo de I3 sumado al segundo renglón 4 veces el tercer renglón . Esta es la misma operación que se realizará sobre A si se multiplica por E , comprobémoslo. . . E A 1 0 0 0 1 0 0 4 1         3 0 2 1 2 1 4 1 5 3 6 4         = = 3 8 2 1 6 1 4 19 5 3 10 4         El resultado es una matriz que se puede obtener de A sumando al 2° renglón 4 veces el tercer renglón . Si una matriz elemental E se obtiene de In mediante una sola operación elemental, entonces es posible obtener In mediante la operación inversa aplicada a la matriz E . Esto es, existe una matriz E 1 ( que se obtiene aplicándo a In una operación elemental ) tal que . . . E 1 E In= y E E 1 In= Por lo tanto, toda matriz elemental E es inversible y su inversa E0 también es una matriz elemental Ejemplo 20. Las inversas de las matrices elementales del ejemplo 19 se obtienen aplicándole a In la operación inversa mediante la cual fueron obtenidas de la matriz identidad y son : E1 se obtuvo multiplicando el segundo renglón de I2 por 2 , entonces E1  1 se obtiene dividiendo el segundo renglón de I2 por 2 . E1 1 0 0 2     = ; E1  1 1 0 0 1 2      