que se resuelven aplicando el método para desigualdades con fracciones Ejemplo 12. Resolver la desigualdad : x 2 4 x 1 Solución : La cantidad 4 x 1 es variable y de signo desconocido por ahora, sin embargo sabemos que el número 4 x 1 es siempre positivo por ser un valor absoluto. El hecho de que conozcamos el signo de ésta cantidad, nos permite usarla para multiplicar la desigualdad sin que cambie el sentido de la desigualdad. Entonces, dado que 1 4 x 1 es positivo, queda . . . 1 4 x 1x 2 4 x 1 1 4 x 1 Pedro Ferreira Herrejón 55 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH Usando ahora las propiedades del valor absoluto resulta . . . x 2 4 x 1 1 Aplicando el teorema I con z x 2 4 x 1= y a 1= , se obtiene : 1 x 2 4 x 1 1 Lo cual equivale a dos desigualdades con fracciones : 1 x 2 4 x 1 y x 2 4 x 1 1 Resolviéndolas por el método usual. . . 0 1 x 2 4 x 1 ; x 2 4 x 1 10 0 5 x 1( ) 4 x 1( ) ; 3 x 1( ) 4 x 1( ) 0 Las raices de ambas desigualdades son entonces : x 1= , x 4= y x 1 5= . La recta numérica queda asi dividida en 4 intervalos. Para encontrar la solución, se debe verificar la desigualdad inicial en cada intervalo, escogiendo valores arbitrarios para x en cada uno de ellos y substituyéndolos en la desigualdad inicial como se muestra en la siguiente tabla de prueba : | x  2 |  | 4x + 1| ? 1  5 Cierto 2  1 Falso 5/2  1 Falso 4  7 Cierto | 4·(1) + 1 | = 5| 4·(0) + 1 | = 1| 4·(1/2) + 1| = 1| 4·( 2) + 1 | = 7| 4·x + 1 | | 1  2 | = 1| 0  2 | = 2| 1/2  2| = 5/2|  2  2 | = 4| x  2 | x = 1x = 0x =  1/2x =  2 Valor para x 1/5 < x <  (1/4 ) < x < 1/51 < x < (1/4)  < x < R 0 Pedro Ferreira Herrejón 56 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH Entonces la desigualdad se cumple solamente para los valores de x que estén dentro de alguno de los intervalos  x 1 y 1 5 x  . ( Nótese que se incluyen los extremos x = 1 y x = 1/5 porque ambos valores satisfacen también la desigualdad inicial ) Otra forma de resolver desigualdades con valores absolutos que tengan la forma general : A B ó A B donde y son expresiones algebráicas, consiste en elevar al cuadrado ambos miembros para eliminar los valores absolutos , pues de la definición alternativa de valor absoluto : x x 2 = se sigue que. . . x 2 x 2 2 = esto es x 2 x 2 = de manera que el cuadrado del valor absoluto de un número es igual al cuadrado de ese número. Al final, se tendrá que resolver una desigualdad que contiene polinomios o fracciones. La dificultad principal de éste método es que se eleva el grado de los polinomios involucrados en la desigualdad y por cada vez que se eleva al cuadrado, será más laborioso determinar sus raices. Ejemplo 13 . Resolver la desigualdad : 2 x 1 3 x 2 1 Solución : Multipicando primero por 3 x 2 (que es un número positivo) para transformar la desigualdad a la forma general A B , queda: 2 x 1 3 x 2 3 x 2    1 3 x 2  2 x 1 3 x 2 Elevando al cuadrado ambos miembros para cancelar el valor absoluto se obtiene: 2 x 1( ) 2 3 x 2( ) 2 4 x 2 4 x 1  9 x 2 12 x 4  0 ( desarrollando los binomios ) 5 x 2 8 x 3 0 ( simplificando ) Pedro Ferreira Herrejón 57 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH 5 x 3( ) x 1( ) 0 ( factorizando ) 5 x 3( ) x 1( ) 0 ( multiplicando por  1 ) Las raices se obtienen de 5 x 3( ) 0= y x 1( ) 0= y son : x 3 5 = , x 1= . Hacemos ahora la tabla de prueba de signos : (  , 3/5 ) ( 3/5 , 1 ) ( 1 ,  ) ( 5 x  3 ) (  ) ( + ) ( + ) ( x  1 ) (  ) (  ) ( + ) (5 x  3 ) ( x  1)  0 ( + ) (  ) ( + ) R Asi que la solución consiste en los intervalos :  x 3 5  y 1 x  Nótese que se incluyen los extremos 3/5 y 1 como parte de la solución. La solución de ésta misma desigualdad por el método del teorema I " Si z a entonces a z a " Haciendo z 2 x 1 3 x 2 = 2 x 1 3 x 2 = y a 1= es . . . Si 2 x 1 3 x 2 1 entonces 1 2 x 1 3 x