Análisis cinetoestático del mecanismo de palancas plano-1

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Teoría de Mecanismos y Máquinas 
 
Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc 
 
Análisis cinetoestático del mecanismo de palancas plano 
 
1.1.- Datos iniciales: 
a.- Esquema estructural del mecanismo. 
 
 
 
 
 
 
 ω1 
 
 
 
 
 
 
b.- Diagrama de la 
fuerza de resistencia 
útil aplicada al eslabón 
de salida y el valor 
máximo de dicha fuerza 
Qmax= 1.5 KN. 
 
 
 
 
 
 
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c.- Dimensiones de los eslabones: 
lAB=0.15 m; lBC=0.45 m; lCD=lCE=0.33m; a=0.2 m; b=0.35 m 
 
d.- Masas de los eslabones: 
m1=0.5 kg; m2=2 kg; m3=m4= 1.5 kg; m5= 5 kg 
 
e.- Momentos de inercia de los eslabones: 
IS2=0.05 kg m2; IS3=IS4= 0.03 kg m2 
 
f.- Número de revoluciones del eslabón de entrada: n1 = 300 rpm 
 
g.- Posición del mecanismo para la cual se realiza el análisis de fuerzas, es este 
caso, la posición 4, que corresponde a un ángulo del eslabón de entrada φ1 = 450. 
 
h.- El coeficiente de rozamiento de deslizamiento: f = 0.1 
 
i.- El radio del muñón de la articulación: rm=40 mm 
 
1.2.- Construcción del esquema cinemático para la posición dada el 
mecanismo: 
 
Se reproduce del primer proyecto con la escala adecuada: 
 
Kl= 0.01 m/mm; AB = lAB/ Kl = 0.15/0.01 =15 mm 
BC = lBC/Kl = 0.45 / 0.01 = 45 mm 
CD = CE = lCD/Kl = lCE/Kl = 33 mm 
Análogamente: a = 20 mm; b = 35 mm 
 
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 ω1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.- Construcción del polígono de velocidades 
 
Se reproduce del primer proyecto con la escala adecuada: 
 
 
 
 
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1.4.- Construcción del polígono de aceleraciones 
 
Se reproduce del primer proyecto con la escala adecuada: 
 
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1.5.- Cálculo de las aceleraciones de los centros de masa 
 
 
 
 
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aS1 = 74 m/s2 aS2 = 117 m/s2 aS3 = 87 m/s2 
 
aS4 = 189 m/s2 aS5 = 237 m/s2 
 
1.6.- Cálculo de los pesos de los eslabones 
 
G1 = 0.5 * 9.81 = 4.91 N G2 = 2.0 * 9.81 = 19.6 N 
G3 = 1.5 * 9.81 = 14.70 N G4 = 1.5 * 9.81 = 14.70 N 
G5 = 5.0 * 9.81 = 49.1 N 
 
1.7.- Cálculo de las fuerzas de inercia 
 
Pin.i = -mi * asi 
 
Pin1 = 0.5 kg * 74 m/s2 = 37 N 
Pin2 = 2.0 kg * 117 m/s2 = 234 N 
Pin3 = 1.5 kg * 87 m/s2 = 131 N 
Pin4 = 1.5 kg * 189 m/s2 = 284 N 
Pin5 = 5.0 kg * 237 m/s2 = 1,185 N 
 
1.8.- Cálculo de los momentos de las fuerzas de inercia 
 
Min.i = - Isi * εi 
Min 1 = Isi * 0 = 0 
Min 2 = 0.05 * 413 = 20.7 N.m 
Min 3 = 0.03 * 191 = 5.73 N.m 
Min 4 = 0.03 * 191 = 5.73 N.m 
Min 5 = 0 
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1.9.- Cálculo de la fuerza de Resistencia útil 
 
Se encuentra basándose en dos diagramas; el diagrama de las fuerzas de 
resistencia útil y el diagrama de desplazamiento del eslabón de salida que se 
reproduce del primer proyecto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supongamos que el cálculo de fuerzas se realiza para la posición 4 del mecanismo 
como se indicó al inicio: 
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S4 = KS * YS4 además Smax = KS * YSmax 
 
Entonces: 
 
S4 / Smax = YS4 / YSmax 
 
Supongamos que S4 / Smax = 0.75; para este valor corresponde Q / Qmax = 0.86; 
Q = 0.86 Qmax = 0.86 * 1.5 KN = 1.591 KN = 1290 N 
 
 
1.10.- Cálculo de las reacciones en los pares cinemáticos que contiene a los 
eslabones 4 y 5. 
 
a.- Representamos dicho grupo estructural con la escala adecuada Kl = 0.005 m/mm 
y aplicamos a los eslabones todas las fuerzas 
externas, la fuerza de resistencia útil, los 
pesos, las fuerzas de inercia y los momentos 
de inercia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b.- Aplicamos las reacciones buscadas: 
 En C´ las reacciones normal y tangencial con sentidos arbitrarios 
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 En el eslabón 5 la reacción por parte del bastidor, la cual estará aplicada en 
el par cinemático porque las demás fuerzas que actúan sobre el eslabón 5 
(peso, fuerza de inercia, fuerza de resistencia útil y la reacción interna entre 
el eslabón 4 y 5) están aplicadas en el punto E y por lo tanto no producen los 
momentos respectivos, entonces, dicha reacción no tiene que producir 
momento respecto a E. 
 
c.- Las fuerzas Q, G5 y Pin5 aplicadas al eslabón 5 tienen la misma dirección por lo 
tanto podemos sustituirlas por una sola resultante: 
P5 = Q – (G5 + Pin5) 
P5 = 1290 – (49.1 N + 1185) = 55.9 N. 
 
d.- Determinamos la reacción tangencial Rt43. 
 
∑ 𝑀𝐸 = − 𝑅43 
𝑡 ∗ 𝑙𝐶𝐸 − 𝑀𝑖𝑛4 − 𝑃𝑖𝑛4 ∗ 𝑏1 ∗ 𝑘𝑙 − 𝐺5 ∗ 𝑏1 ∗ 𝑘𝑙 = 0 
 
Rt43 = -124 N 
 
e.- Determinamos la componente normal Rn43 y la reacción R56 por el polígono de 
fuerzas. 
 
∑ 𝑃𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 = 𝑅43 
𝑛 + 𝑅43 
𝑡 + 𝑃𝑖𝑛 4 + 𝐺4 + 𝑃5 + 𝑅56 = 0 
 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-0 
 
 
Fuerza N Rt 43 Pin 4 G4 P5 
124 N 284 N 14.7 N 115 N 
Kp 3 (N/mm) 41 mm 95 mm 5 mm 38 mm 
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R56 =KP * 5-0 = 33 N 
R4-3 = KP * 0-2 = 129 N 
 
f.- Determinamos la reacción interna en la articulación E. 
 
 
 
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∑ 𝑃𝐸𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 5 = 𝑃5 + 𝑅56 + 𝑅54 
 4-5 5-0 0-4 
 
 
R54 = KP * 0-4 = 264 N 
 
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1.11.- Cálculo de las reacciones en los pares cinemáticos que contiene a los 
eslabones 2 y 3. 
 
a.- Representamos dicho grupo estructural con la escala adecuada Kl = 0.005 m/mm 
y aplicamos a los eslabones todas las fuerzas externas, los pesos, las fuerzas de 
inercia y los momentos de inercia: 
 
 
b.- En el punto C al eslabón 3 la aplicamos la reacción conocida R34 con el mismo 
valor numérico que tiene la reacción R43 del cálculo anterior, pero en sentido 
contrario. 
 
c.- Aplicamos las reacciones buscadas R36 = Rn36 + Rt36 con sentidos arbitrarios a 
la articulación D y a la articulación B aplicamos las reacciones buscadas R21 = Rn21 
+ Rt21 también con sentidos arbitrarios. 
 
 
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d.- Determinamos las componentes tangenciales Rt21 y Rt36: 
∑ 𝑀𝐶 (𝐸𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 2) = 𝑅21 
𝑡 ∗ 𝑙𝐵𝐶 − 𝑃𝑖𝑛2 ∗ 𝑏3 ∗ 𝑘𝑙 + 𝐺2 ∗ 𝑏4 ∗ 𝑘𝑙 − 𝑀𝑖𝑛2 = 0 
Rt21 = -81.5 N 
 
∑ 𝑀𝐶 (𝐸𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 3) = 𝑅36 
𝑡 ∗ 𝑙𝐷𝐶 − 𝑃𝑖𝑛3 ∗ 𝑏6 ∗ 𝑘𝑙 + 𝐺3 ∗ 𝑏5 ∗ 𝑘𝑙 + 𝑀𝑖𝑛3 = 0 
Rt36 = 3.11 N 
 
e.- Determinamos las componentes normales Rn21 y Rn36 y las reacciones totales 
R21 y R36 mediante el polígono de fuerzas: 
 
∑ 𝑃𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 = 𝑅21 
𝑛 + 𝑅21 
𝑡 + 𝑃𝑖𝑛 2 + 𝐺2 + 𝐺3 + 𝑃𝑖𝑛 3 +𝑅34 + 𝑅36 
𝑡 + 𝑅36 
𝑛 = 0 
 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-0 
 
 
Fuerza N Rt21 Pin 2 G2 G3 Pin 3 R34 Rt36 
81.5 N 234 N 19.6 N 14.7 N 131 N 129 N 3.11 N 
Kp 3 (N/mm) 27 mm 78 mm 7 mm 5 mm 43 mm 43 mm 1 mm 
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Observación: Convencionalmente se considera (para el apartado de fuerzas) que, 
si un vector de polígono de fuerzas resulta igual o menor de 1 mm dicho vector no 
se traza, por eso en nuestro caso los puntos 7 y 8 coincidirán: 
 
f.- Determinamos la reacción interna en C, para lo cual examinamos el equilibrio el 
eslabón 2: 
∑ 𝑃𝐸𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 2 = 𝑅21 + 𝐺2 + 𝑃𝑖𝑛 2 
 + 𝑅23R23 = KP * (4-0) = 3 * 78 = 234 N 
 
 
 
 
 
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1.12.- Calculo de las fuerzas del eslabón de entrada: 
 
a.- Representamos el eslabón de entrada con el coeficiente de escala adecuado, en 
este caso Kl = 0.005 m/mm y ubicamos las fuerzas que le corresponden: 
 
 
b.- Determinamos la fuerza equilibrante Peq haciendo momento en A: 
 
∑ 𝑀𝐴 = 𝑃𝑒𝑞 ∗ 𝑙𝐴𝐵 − 𝑅12 ∗ 𝑏7 ∗ 𝑘𝑙 − 𝐺1 ∗ 𝑏8 ∗ 𝑘𝑙 = 0 
 
Peq = 392 N 
 
 
 
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c.- Determinamos R16 
 
∑ 𝑃 = 𝑃𝑒𝑞 + 𝑃𝑖𝑛 1 + 𝐺1 
 + 𝑅12 + 𝑅16 
 
 
 
 
Fuerza N Peq Pin 1 G1 R12 
392 N 37 N 4.91 N 468 N 
Kp 5 (N/mm) 78 mm 7 mm 1 mm 94 mm 
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Ponemos todas las reacciones en una tabla: 
 
Par Cinemático 6-1 1-2 2-3 3-4 3-6 4-5 5-6 
A B C C´ D E E´ 
Reacción R16 R12 R23 R34 R36 R45 R56 
Valor Numérico en N 260 468 234 129 30 264 33 
 
1.13.- Determinación de la fuerza equilibrante mediante la palanca rígida de 
Zhukovski. 
 
a.- Sustituimos los momentos de las fuerzas de inercia por pares de fuerzas: 
 
El momento de inercia Min2 por P´2 aplicada en B y P”2 aplicada en C: 
 
 
El momento de inercia Min3 por P´3 aplicada en C y P”3 aplicada en D: 
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El momento de inercia Min4 por P´4 aplicada en C y P”4 aplicada en E: 
 
 
 
P´4 = P”4 = (Min4) / lCE =(5.73)/(0.33) = 46 N 
Los momentos de dichos pares deben de coincidir en sentido y valor numérico con 
los momentos de inercia correspondientes. De esta condición encontramos los 
valores de estas fuerzas: 
 
P´2 * lBC = Min2 P´3 * lCD = Min3 
 
P´2 = P”2 = (Min2) / lBC =(20.7)/(0.45) = 46 N 
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P´3 = P”3 = (Min3) / lCD =(5.73)/(0.33) = 17.4 N 
 
b.- Construimos la palanca rígida de Zhukovski. Trasladamos los vectores de todas 
las fuerzas externas que actúan sobre los eslabones correspondientes de la palanca 
rígida. Los trasladamos paralelamente así mismos: 
 
Al punto S1 la fuerza G1. Al punto S4 las fuerzas G4 y Pin4 
Al punto b, la fuerza Peq y P´2 Al punto S3 las fuerzas G3 y Pin3 
Al punto S2 las fuerzas G2 y Pin2 Al punto e las fuerzas P5 y P”4 
Al punto c las fuerzas P”2, P´4y P´3 
 P5 
 
 
 
 
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 P5 
 
 
En la primera imagen se presenta Zhukovski con los primeros 5 brazos para efectuar 
momento y en la segunda imagen con los últimos 5 brazos, esto se efectúa para 
efecto de visualización. 
c.- Escribimos la ecuación de los momentos de todas las fuerzas con respecto al 
polo de palanca rígida y la despejamos en cuanto a Peq. Con esto todos los brazos 
de las fuerzas se miden inmediatamente en la palanca de Zhukovski en milímetros: 
 
SMP = G1*h2 – P´2*h1 – Peq*pb + Pin2*h3 – P”2*h6 + P´4*h7 + P´3*pc – G3*h4 + Pin3*h5 
– G4*h8 – Pin4*h9 + P”4*h10 + P5*pe = 0 
 
Peq = 416N 
 
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La diferencia relativa entre el valor numérico de Peq determinado por este método y 
el determinado por el cálculo de fuerzas no debe de exceder el 10%, en caso 
contrario el cálculo de fuerzas está mal realizado. 
 
1.14.- Calculo de la potencia consumida por el rozamiento en los pares 
cinemáticos y cálculo del rendimiento del mecanismo 
 
a.- Potencia consumida en los pares: 
Nroz = NAroz + NBroz + NCroz + NC´roz + NDroz + NEroz + NE´roz 
Para los pares de rotación tenemos: 
NAroz = f´* R16 * rm * ω16 
 
ω16 : Es la velocidad angular relativa de rotación del eslabón 1 con respecto al 
eslabón 6, en nuestro caso ω6 es igual a cero, entonces ω16 = ω1. 
 
ω16 = | ω1 ± ω6 | 
 
rm : Es el radio del muñón. 
f´ : Es el coeficiente reducido de rozamiento, en nuestro proyecto es el coeficiente 
de rozamiento de deslizamiento. 
 
𝑓´ =
4
𝜋
∗ 𝑓 
𝑓´ =
4
𝜋
∗ 0.1 = 0.127 
 
NAroz = 0.127* 260 * 0.04 * 31.4 = 416 Watts 
 
NBroz = f´ * R12 * rm * ω12 = 0.127 * 468 *0.04 * 47.8 = 114 Watts 
 
 
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ω12 = ω1 + ω2 = 31.4 + 16.4 = 47.8 s-1 
 
 
 
 
NCroz = f´ * R23 * rm * ω23 = 0.127 * 234 * 0.046 * 6 = 7.15 Watts 
 
 
 
ω23 = |ω2 – ω3| = 16.4 – 22.4= 47.8 s-1 
 
 
 
 
 
NC´roz = f´ * R34 * rm * ω34 = 0.127 * 129 * 0.04 * 44.8 = 29.4 Watts 
 
 
 
ω34 = ω3 + ω4 = 22.4 + 22.4 = 44.8 s-1 
 
 
 
 
 
 
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NDroz = f´ * R36 * rm * ω36 = 0.127 * 30 * 0.04 * 22.4 = 3.42 Watts 
Puesto que en nuestro caso ω6 es igual a cero, entonces ω36 = ω3 = 22.4 s-1. 
 
NEroz = f´ * R45 * rm * ω45 = 0.127 * 264 * 0.04 * 22.4 = 30.1 Watts 
Puesto que en nuestro caso ω5 es igual a cero, entonces ω45 = ω4 = 22.4 s-1. 
 
Para el par de traslación tenemos: 
NE´roz = f´ * R56 *VE5E6 = 0.127 *33 * 6.7 m/s = 22.1 Watts 
 
Sustituyendo todos los valores en la ecuación para el cálculo de Nroz, tenemos: 
 
Nroz = 248 Watts 
 
b.- Rendimiento del mecanismo. 
 
η = Nru / Ncon Nru es la potencia consumida por el mecanismo para vencer la 
fuerza de resistencia útil. Nru = Q */ VK, donde VK es la velocidad 
del punto de aplicación de Q, en nuestro caso VK = VE. 
 Ncon es la potencia consumida por el mecanismo, o sea, la 
potencia de las fuerzas motrices. 
Ncon = Nru + Nroz; 
η = (Q * VE) / (Q * VE + Nroz) = (1350*67) / (1350*67 + 248) = 0.97 
 
 
1.15.- Contenido de la hoja del dibujo 
 
1.- En la parte superior izquierda de la hoja se representa la tabla de datos iniciales. 
Debajo de la tabla, el esquema cinemático del mecanismo a escala y en la posición 
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para la cual se realiza el cálculo de fuerza. En el esquema cinemático se aplican a 
los eslabones las fuerzas efectivas. 
 
2.- A la derecha del esquema cinemático se reproducen el polígono de velocidades 
y el polígono de aceleraciones a escalas adecuadas. 
 
3.- En la parte izquierda central e inferior se representa el diagrama de la fuerza de 
resistencia útil Q y el diagrama de desplazamiento S = S (φ). 
 
4.- En la parte central se representan los diferentes grupos estructurales y se 
construyen los polígonos de fuerza para los mismos a escala adecuada. 
 
5.- En la parte derecha se hará el análisis de fuerzas del mecanismo primitivo con 
su polígono de fuerzas y se construirá la palanca rígida de Zhukovski.