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PROGRAMACIÓN LINEAL – PLANTEO DE INECUACIONES – FUNCIONES – TEORÍA DE ECUACIONES ÁLGEBRA TEMA R2 S A N M A R C O S E S C O L A R IN T E N S IV O 2 0 2 1 – II I SSI3RMR2 ESQUEMA - FORMULARIO TEORÍA DE ECUACIONES • Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0. • P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a0 = 0; an ≠ 0, también se puede escribir an(x – r1)(x – r2)(x – r3) ... (x – rn) = 0 donde r1, r2, r3 ..., rn raíces de la ecuación. • Si: P(x) = (x – r1)m(x – r2)n(x – r3)p = 0 Entonces: r1 es una raíz de multiplicidad m r2 es una raíz de multiplicidad n r3 es una raíz de multiplicidad p • Teorema de Cardano - Viette r1 + r2 + r3 + ... + rn = – an – 1 an "Suma de raíces" r1 . r2 + r1 . r3 + ... + rn – 1 . rn = an – 2 an "Suma de productos Binarios" r1 . r2 . r3 ... rn = (–1)n a0 an "Producto de raíces" • Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a + b, la otra es a – b. • Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es a + bi, entonces la otra es a – bi. • P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a0 = 0 por cada cambio de signo es una raíz positiva. • P(–x) = an(–x)n + an – 1(–x)n – 1 + ... + a0 = 0 por cada cambio de signo es una raíz negativa, o, menos en una cantidad par. 2ÁLGEBRATEMA R2 PROGRAMACIÓN LINEAL – PLANTEO DE INECUACIONES – FUNCIONES – TEORÍA DE ECUACIONES SAN MARCOS ESCOLAR INTENSIVO 2021 – III NIVEL 1 1. Una empresa gana $150 por cada Tm de papa deshidratada y $100 por cada Tm de achiote. La producción debe ser como mínimo de 30 Tm de papa deshidratada y 30 Tm de achiote. La cantidad de achiote no puede superar en más de 60 Tm a la de papa deshidratada. El triple de la cantidad de papa deshidratada, más la cantidad de achiote, no puede superar 420 Tm, la ganancia máxima es: A) $ 23000 B) $ 28500 C) $ 30000 D) $ 25000 2. Una fábrica produce dos modelos de aparatos de radio A y B. La capacidad de producción de aparatos de tipo A es de 60 unidades por día y para el tipo B de 75 unidades por día. Cada aparato del tipo A necesita 10 piezas de un componente electrónico y 8 piezas para los del tipo B. Cada día se dispone de 800 piezas del componente electrónico. La ganancia por cada aparato producido por los modelos A y B es de $30 y $20 respectivamente. La producción diaria de cada modelo para maximizar la ganancia es: A) Modelo A = 60; Modelo B = 25 B) Modelo A = 20; Modelo B = 75 C) Modelo A = 60; Modelo B = 75 D) Modelo A = 0; Modelo B = 100 3. Un taller de confecciones fabrica blusas y faldas del mismo tejido. Cada obrera emplea 30 minutos por blusa y gasta 1,5 metros de tejido y para cada falda 20 mi- nutos gastando 2m de tejido. El beneficio obtenido es de $ 2 por cada blusa y de $ 2,40 por cada falda. Sabiendo que cada obrera sólo dispone de 8 horas y 30 m de tejido, la utilidad máxima es: A) $ 36 B) $ 38,40 C) $ 32 D) $ 35 4. La menor raíz irracional de la ecuación: x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 1 = 0, es: A) 5 – 3 B) 4 – 2 C) 3 – 2 D) 2 – 3 5. Si el polinomio de coeficientes reales f(x) = x3 + ax2 + bx – 20 tiene la raíz 3 + i, encuentre sus otras raíces, y determine (a + b) A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 NIVEL 2 6. Sabiendo que F(x) = x4 +2x3 – 7x2 – 8x + 12 tiene las raíces 1 y – 2, encuentre el polinomio cuadrático que tiene las demás raíces de f(x). A) x2 + x + 6 B) x2 + x – 6 C) x2 – x – 6 D) x2 – x + 6 PROBLEMAS PROPUESTOS 3 ÁLGEBRATEMA R2 PROGRAMACIÓN LINEAL – PLANTEO DE INECUACIONES – FUNCIONES – TEORÍA DE ECUACIONES SAN MARCOS ESCOLAR INTENSIVO 2021 – III 7. Si P es una función polinomial definido por P(x) = 8x7 – 8x3 – x4 + 1; con respecto a P(x) = 0, se tiene que: N es el número de raíces reales M es el número de raíces no reales Determine: M2 + N2 A) 25 B) 29 C) 33 D) 37 8. Sea la siguiente gráfica –1 3 X 2 Y La función polinómica de menor grado que representa a la gráfica es: A) P(x) = – 2(x + 1)2(x – 3) B) P(x) = – 2 3 (x + 1)2(x – 3) C) P(x) = – 3(x + 1)2(x – 3) D) P(x) = – (x + 1)2(x – 3) 9. Sea la función "F" tal que: F: [3, 8〉 → [a; b〉, cuya regla de correspondencia es: F(x) = x2 – 6x + 20. Calcular: a b siendo F(x) una función suryectiva: A) 1 36 B) 1 11 C) 11 36 D) 36 10. Se tiene F: [–1, 1〉 → 〈 21 4 ; 11 2 ] / F(x) = 5x + 16 x + 3 El valor de verdad de las siguientes afir- maciones I. "F" es suryectiva. II. "F" es creciente ∀ x ∈ [–1, 1〉 III. "F" no tiene inversa. A) VVV B) FVF C) FFF D) VFV
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