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www.FreeLibros.org COLECCIÓN EL POSTULANTE ARITMÉTICA CO LECCIÓ N EL POSTULANTE ARITMÉTICA ARITMÉTICA - COLECCIÓN El POSTULANTE Salvador Timoteo © Salvador Timoteo Diseño de portada: Óscar Farro Composición de interiores: Natalia Mogollón Responsable de edición: Alex Cubas © Editorial San Marcos E. I. R. L., editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Telefax: 331-1522 RUC 20260100808 E-mail: informes@editorialsanmarcos.com Primera edición: 2007 Segunda edición: 2013 Tiraje: 1000 ejemplares Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú Registro N.° 2012-11992 ISBN 978-612-302-918-0 Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del autor y del editor. Impreso en el Perú / Printed in Perú Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 974, Lima Telefax: 424-6563 E-ma¡l: ventaslibreria@editorialsanmarcos.com www.editorialsanmarcos.com Composición, diagramación e impresión: Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S. J. L. RUC 10090984344 mailto:informes@editorialsanmarcos.com mailto:ventaslibreria@editorialsanmarcos.com http://www.editorialsanmarcos.com ÍNDICE Razones - Proporciones - P rom ed ios............................................................................................................. 9 Magnitudes proporcionales............................................................................................................................... 19 Reparto p roporc iona l.......................................................................................................................................... 23 Regia de tre s ......................................................................................................................................................... 27 Porcentajes - Mezclas ....................................................................................................................................... 31 Interés - D escuento............................................................................................................................................. 40 Numeración - C on teo .......................................................................................................................................... 48 Cuatro operaciones............................................................................................................................................. 58 Divisibilidad............................................................................................................................................................. 69 Números prim os.................................................. 79 Máximo común divisor - Mínimo común múltiplo.......................................................................................... 87 Potenciación y rad icac ión .................................................................................................................................. 94 Teoría de conjuntos ................................................ 102 Números rac iona les............................................................................................................................................ 114 PRESENTACIÓN Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional. La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria exitosa. Finalmente, deseamos hacer un reconocimiento al s fa ffde docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe dro de Castro, Jorge Solari y Nathali Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academias de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de los contenidos. -E L E D ITO R - RAZONES - PROPORCIONES - PROMEDIOS RAZON Es la comparación que se establece entre dos can tidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división, lo cual nos induce a se ñalar que se tiene dos clases de razón. Razón aritmética. Es la que se obtiene mediante la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra: a - b = r Ejemplo: Los automóviles A y B se desplazan con velocida des de 28 m/s y 23 m/s respectivamente, compare mos sus velocidades: razón aritmética 28 m/s -> 23 m/s = 5 m/s antecedente consecuente Interpretación: la velocidad del automóvil A excede en 5 m/s a la velocidad del automóvil B. Razón geométrica. Es la que se obtiene mediante ia división y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene la unidad de referencia: — = k b Ejemplo: Los edificios A y B tienen una altura de 60 m y 36 m, respectivamente, comparemos sus alturas (en ese orden): razón geométrica antecedente ------► 60 m _ 5 consecuente ------► 36 m 3 I valor de la razón Interpretación: Las alturas de los edificios A y B son entre sí como 5 es a 3 porque: Altura de A: 5(12 m) Donde: 12 m es la unidad de referencia. Altura de B: 3(12 m) Por cada 5 unidades de 60 m hay 3 unidades de 36 m. Las alturas de los edificios A y B están en la relación de 5 a 3. Recuerde: RAZÓN Aritmética Geométrica a - b = r Términos: a: antecedente b: consecuente r y k: valores de las razones Cuando en el texto se mencione solamente razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón geométrica. PROPORCIÓN Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. Proporción aritmética. Es aquella que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones aritméticas. Ejemplo: Forme una proporción aritmética con las edades de 4 alumnos y que son: 15 años, 17 años, 18 años y 14 años. Extremos i i I. 18 años - 15 años = 17 años - 14 años t t Medios Extremos I 1 II. 18 años - 17 años = 15 años - 14 años t í Medios Llevando los extremos y medios a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente: Extremos Medios • 18 años + 14 años = 17 años + 15 años 32 años = 32 años 1 0 | C o lec ció n El Po s tu la n te Extremos Medios • 18 años + 14 años = 15 años + 17 años 32 años = 32 años De donde podemos concluir que en toda propor ción aritmética: [suma de extremos] = [suma de medios] Dependiendo del valor que asumen los términos medios las proporciones aritméticas presentan dos tipos. A. Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo: Forme una proporción aritmética con las altu ras de 4 árboles y que son: 25 m; 18 m; 42 m y 35 m. R eso luc ión : Debemos comparar las alturas de dichos ár boles mediante una resta. 25 m - 18m = 7 m a la vez 42 m - 35 m = 7 m Como el valor de cada razón es el mismo pode mos establecer: 2 5 m - 1 8 m = 4 2 m - 3 5 m que es una proporción aritmética discreta. Convenclonalmente se asumen los términos de la proporción aritmética en el orden como se presentan en el problema: í 1 -er ̂ i z ° ) - ( 3er W 4 M[térm ino/ [term ino/ [té rm ino / [term ino/ Ejemplo: Halle la cuarta diferencial de los precios de tres artículos que son: S/.50, S/.34 y S/.29. R eso luc ión : La cuarta diferencial es el cuarto término en la proporción: 50 - 34 = 29 - c; c = 13, enton ces 13 es la cuarta diferencial de 50; 34 y 29. B. Continua. Cuando los valores de lostérminos medios son ¡guales. Ejemplo: Forme una proporción aritmética continua con los volúmenes de 4 recipientes y que son 19 cm3, 15 cm3 y 11 cm3. R eso luc ión : Podría ser: 19 cm3 - 15 cm 3 = 15 cm3 - 11 cm3 ya que generalmente se asume el orden en que se dan los términos. Recuerde: Proporción aritmética Discreta “a excede a b como c excede a d” Extremos J i a - b = c - d t _ J “ Medios d: cuarta diferencial de a, b y c Continua Extremos I * a - b = b - c Medios b: media diferencial de a y c c: tercera diferencial de a y b Proporción geométrica. Es aquella que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas. Ejemplo: Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son 24 L, 6 L, 16 L y 4 L las cuales se comparan me diante la división del siguiente modo: M i = 4 6 L l i L k _ 4 4 L 24 L = 16L 6 L 4 L 24 L y 4 L: términos extremos 6 L y 16 L: términos medios Interpretación: la capacidad de 24 L es a la capaci dad de 6 L como la de 16 L es a la de 4 L. Ejemplo: Forme una proporción geométrica con las veloci dades de 4 automóviles y que son: 15 m/s; 20 m/s; 9 m/s y 12 m/s. A r it m é t ic a I 1 1 R eso luc ión : I 15 m/s _ 9 m/s _ 3 20m /s 12 m/s 4 Extremos: 15 m/s y 12 m/s Medios: 20 m/s y 9 m/s 3 Valor de cada razón geométrica: ^ II 20 m/s 12 m/s 4 15 m/s 9 m/s 3 Extremos: 20 m/s y 9 m/s Medios: 15 m/s y 12 m/s Valor de cada razón geométrica: ^ Llevando los términos medios y extremos a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente: Extremos Medios (15 m/s)(12 m/s) = (9 m/s)(20 m/s) 1 8 0 = 1 8 0 Extremos Medios (20 m/s)(9 m/s) = (12 m/s)(15 m/s) 180 = 1 8 0 De donde podemos concluir que en toda pro porción geométrica: [Producto de extremos] = [Producto de medios] Dependiendo del valor que asumen los tér minos medios, las proporciones geométricas presentan dos tipos: A. Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes: — = — b d Convencionalmente se asumen los términos de la proporción en el orden como se presen tan en el problema: (1.er término) __ (3.er término) (2.° término) (4.° término) Ejemplo: Calcula la cuarta proporcional de las estaturas de 3 estudiantes que son: 1,6 m; 1,2 m y 1,4 m R eso luc ión : La cuarta proporcional es el cuarto término de .. 1,6 1,4 la proporción = — =, x = 1,05 es la cuar ta proporcional. B. Continua. Cuando los valores de los términos medios son iguales. a _ b b _ c Recuerde: Proporción geométrica Discreta Continua a _ c b d d: cuarta proporcional de a, b y c a b b ~ c b: media proporcional de a y c. c: tercera proporcional de a y b. Propiedad de la proporción geométrica. Al efec tuar las operaciones de adición y/o sustracción con los términos de una razón en la proporción, estas mismas operaciones se verifican con los términos de la otra razón. Si: a c a + b c + d a + b c + d— — — - >---------— o --------= --------- o b d b d a c b - a _ d - c a + b _ c + d b d a - b c - d Serie de razones geométricas equivalentes En algunas oportunidades nos encontraremos con razones geométricas que tienen el mismo valor nu mérico, como: — = 2 ' — = 2 - — = 2 5 7 ’ 3 6 Las cuales pueden igualarse del siguiente modo: 10 14 fi 1? - = — = - = — = 2 , la cual es llamada serie de 5 7 3 6 razones geométricas equivalentes. Donde: 10; 14; 6 y 12 son los antecedentes. 5; 7; 3 y 6 son los consecuentes. 2 es la constante de proporcionalidad. Realicemos algunas operaciones con los términos: . 10 + 14 + 6 = 30 = 2 . 10 + 1 2 - 6 = 16 = „ 5 + 7 + 3 15 ’ 5 + 6 - 3 8 En ambos casos se observa que la constante de proporcionalidad no ha variado lo cual nos induce a: 10 = 14 = 6 = 12 = 10 + 14 = 1 0 - 6 __ 5 7 3 6 5 + 7 5 —3 1 2 | C olec ció n El P o s tu la n te 10 + 6 - 1 2 10 + 1 4 - 6 - 1 2 5 + 3 - 6 10 x 14 x 6 5 + 7 - 3 - 6 = 2 5 x 7 x 3 10 x 14 x 6 x 12 5 x 7 x 3 x 6 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 = 2 Se puede observar que al multiplicar los antece dentes y consecuentes la constante de propor cionalidad se ve afectada de un exponente que numéricamente es igual a la cantidad de razones consideradas para la multiplicación. cY bota /:....... - ........... „ En general para n razones de igual valor nu mérico: _ ^2 _ ^3 _ £2. _ k C1 C2 C3 cn Donde: a¡: antecedente; c¡: consecuente k: constante de proporcionalidad Además: a! = c, k a2 = c2 k 83 = c3 k an = c„ k En el cual se cumplen las siguientes propiedades: - O í - - — C1 C2 C3 cn 3i -+- 82 + a3 + ••• + an = k C1 + C2 + C3 + ... + cn Se cumple: = k suma de antecedentes súma de consecuentes a1a2 a3 cII c I C1.C2.C3 ■•Cn í a i f - [ a2\n _ / a3\n _ - i 3")"V C-i / O M 1 O W 1 U n / Se cumple: producto de antecedentes producto de consecuentes kn Donde n es el número de razones que se multiplican. Propiedad: En las siguientes series de razones geométricas: _8_ = 12 = 18 12 18 27 81 54 54 36 36 24 24 16 se observa que el primer consecuente es igual al. segundo antecedente, el segundo consecuente igual al tercer antecedente y así sucesivamente. A este tipo de serie se le denomina: serie de razones geométricas continuas equivalentes. En general: a = ek b = ek3 ek = ek PROMEDIO Dado un conjunto de datos es frecuente calcular un valor referencial (que represente a dichos datos) cuyo valor se encuentra comprendido entre los va lores extremos (mínimo y máximo dato) o es igual a uno de los extremos y se le denomina promedio. En general: para n datos a-, < a2 < ... < an se tiene que: a-, < promedio < an Promedio aritmético o media aritmética (MA) Ejemplo: Calcular el promedio aritmético de las tempe raturas de 5 ciudades y que son: 14°; 13°; 11°; 12°; 15°. R eso luc ión : 14° + 13°+ 12°+ 11°+ 15° = 65^ 5 5 MA = - 13° Es el más sencillo y ya lo habíamos trabajado en el ejemplo anterior: MA = MA = suma de datos cantidad de datos 3 i + a2 + 83 + ... + an n Para determinar la variación que experimenta el promedio aritmético de un conjunto de da tos solo es necesario considerar el incremen to o disminución en la suma de los datos. A r itm é tic a | 1 3 I variación del | I promedio I incremento o disminución en la suma de los datos cantidad de datos Cuando de un conjunto de datos se conoce su promedio implícitamente ya se tiene la suma de ios datos. MA (n datos) = k => suma (n datos) = n(k) Promedio ponderado Datos: a 3 a2 a3 Pesos: P3 P2 P3 a k Pk promedio _ a-|P| + a2P2 + a3P3+ ... + akFj( ponderado “ p, + p2 + p3 + ... + pk Promedio geométrico o media geométrica (MG). Es un promedio que permite promediar índices y tasas de crecimiento y el procedi miento para calcularlo es: MG = 2^2 í^p roducto de los datos MG = 5 ja ,x a 2x a 3x ... x a „ Promedio armónico o media armónica (MH). Es la inversa del promedio aritmético de los recíprocos de los datos: MH = - cantidad de datos suma de las inversas de los datos MH = - n 1 1 1 1 — + — + — + .. .+ — a 1 a 2 a 3 a n Mediana (Me). Es un promedio que represen ta el punto medio de los datos para determi narlo el procedimiento es el siguiente: Se ordenan los datos en forma creciente o de creciente. - Si el número de datos es impar, la media na es el dato central. - Si el número de datos es par, la media na es el promedio aritmético de los datos centrales. Moda (Mo). Es el valor más frecuente o el que más se repite en un conjunto de datos. Propiedades (MA, MG y MH) 1. Para un conjunto de datos no iguales se tiene que: MH < MG < MA Cuando los datos son iguales se cumple que: MH = MG = MA 2. Siempre para dos datos a y b se cumple que: (MA)(MH) = (MG )2 Para dos números: MA(a; b) = MG(a; b) = -lab 2MH(a; b) : = 2ab1 + 1 a+b a b 2 . EJERCICIOS RESUELTOS Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se ob tienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor? R eso luc ión :_ . . a 2 a = 2k (menor) Por dato: f = -=■ => , ' b 5 b = 5k (mayor) Además: 2k + 175 = 5k + 115 60 = 3k =. k = 20 Luego: menor = 2k = 40 El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica es 50 625. Sabiendo que los medios son iguales y que uno de los extremos es 75, indicar la suma de los cuatro términos de la proporción. R eso luc ión : 75 bSea la proporción: — = — = k b d Por dato: (75)(d)(b)(b) = 50 625 Entonces: b4 = 154 =* b = 15 Además por propiedad: (75)(d) = (15)(15) => d = 3 Luego: 75 + 2b + d = 108 1 4 I C o lec c ió n El Po s tu la n te El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3. Cuando B planta x rosas en 1 hora. A planta x + 2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas? R eso luc ión : Por dato: A = 1 = B 3 A = 4t B = 3t > x = 6 Además en 1 hora 2 + x = 4t x = 3t Luego, B en 4 horas planta: 6(4) = 24 rosas. 4. La razón de 2 números es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Encontrar el mayor de los dos números. R eso luc ión : a 3 3Sean a y b los números: — = — => a = — b b 4 4 f a b , 1152 > f ( f b ) b : b2 92 - = 1152 =9 b = 2304 = = 1152 482 => b = 48 (mayor) A a = 36 (menor) .. b = 48 5. Un asunto fue sometido a votación de 600 personas y se perdió; habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el doble de votos por el que se había perdido la primera vez, y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión? R eso luc ión : A favor En contra Diferencia de votos 1 ,a vot. F 60 0 - F 600 - 2F 2 .a vot 6 0 0 - V V 6 0 0 - 2V Por dato: • 600 - 2V = 2(600 - 2F) 600 - 2V = 1200 - 4F 4F - 2V = 600 2F - V = 300 =9 V = 2F - 300 6 0 0 - V = 8 600 - F 7 Por propiedad de proporciones:' F - V 1 F - ( 2 F - 300) -i 600 - F “ 7 ~ 600 - F “ 7 -7 F + 2100 = 600 - F 1500 = 6 F => F = 250; V = 200 Cambian de opinión: 150 ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción continua si la suma de sus cua tro términos es 36 y la razón entre la suma y diferencia de los dos primeros términos es 3? R eso luc ión : Sea la proporción: — = — = k b d a 4- 2b + d — 36 ■•■('!) a + b a - b dones: — = 2 =9 a = 2b b Reemplazando en la proporción: 2b b Luego en (1): 2b + 2b + - = 36 =9 - b = 36 2 2 b = 8 ;a = 1 6 y d = 4 .-. a - d = 12 El promedio de 50 números es 38; siendo 45 y 55 dos de los números. Eliminando estos dos números, hallar el promedio de los restantes. = 3, de aquí por propiedad de propor- k = 2 Sn n R eso luc ión : Vamos a convenir que: MAn = Entonces en el problema: | ^ = 38=9 S50 = 1900 5U Como dos de los números son 45 y 55; quedan: S48 = 1900 - (45 + 55) =9 S48 = 1800 Luego: MA48 = 37,5 Se tienen 4 números enteros y positivos, se seleccionan 3 cualesquiera de ellos y se cal cula su media aritmética, a la cual se agrega el entero restante, esto da 29, repitiendo el A r itm é tic a | 1 5 proceso 3 veces más se obtienen como resul tados 23, 21 y 17. Hallar uno de los enteros originales. R eso luc ión : Sean a, b, c y d los números: a + b + c 3 b + c + d + d = 29 ...(1) a = 23 ...(2) a + b + d a + c + d + c = 21 +b = 17 ...(3) (4) Sumando miembro a miembro: 3(a + b + c + d) h (a + b + c + d) = 90 a + b + c + d = 45 En (1): a + ^ + c = 29 - d 45 - d = 87 - 3d => d = 21 En (2): a = 12; en (3): c = 9; en (4): b = 13 9. Hallar dos números tales que su medía arit mética sea 18,5 y su media geométrica 17,5. R eso luc ión : Sean a y b los números. MA(a; b) = ^ -± -^ = 18,5 =* a + b = 37 MG(a; b) = Váb = 17,5 => a x b = 306,25 Debemos buscar dos números que multiplica dos den 306,25 y sumados 37. Así, de: a x b = 306,25 a x b = 2 4 ,5 x 1 2 ,5 Los números son: 24,5 y 12,5 10. Tres números enteros a, b y c, tienen una media aritmética de 5 y una media geométri ca de 3/120" • Además, se sabe que el produc to be = 30. Hallar la media armónica de estos números. R eso luc ión : Por dato: MA = -a ^ ^ + c = 5=>a + b + c = 15 MG Vabc = 3VT20 = abe = 120 De donde: a(30) = 120; (be = 30) ^ a = 4 Luego: b + c = 11 be = 30 b = 5; c = 6 v b = 6 ; c = 5 MH(a; b; c) : 3.4.5 .6 _ 180 _ 360 20 + 24 + 30 37 74 11. El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2. Si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes en la clase B excede a la de A en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B? R eso luc ión : Sea n el número de estudiantes en B y n - 16 el número de estudiantes en A: 71,2n + 68,4(n - 16) =» Prom. = = 70 • 2n - 16 139,6n - 1094,4 = 140n - 1120 =. n = 64 [ " e j e r c ic io s PROPUESTOS ! ' ] 1. Dada la siguiente serie de razones geométri cas equivalentes: 27 _ _b_ _ 15 _ _d_ a 70 c 14 además: b - d = 24. Hallar: a + b + c + d a) 126 d) 162 b) 134 e) 146 c) 143 2. Si: -§■ = - = - y además: b c d (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) = 4900 Hallar: 3(ab + be + cd) a) 70 d) 120 b) 280 e) 210 c) 35 3. Dado la siquiente serie: — = — = — = k ; k e E + a b d e Además: c +e = 15; b +d = 14 Calcular: (a + b + c) 1 6 | C o lec c ió n E l Po s tu la n te a) 25 b) 30 c) 36 d ) 42 e) 28 4. En una proporción geométrica continua se sabe que la diferencia de los extremos es 40 y la suma de sus términos es 100. Calcular la media aritmética de los extremos e indicar la suma de sus cifras. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 8 5. En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 75 y la diferencia de los mismos es 21. Calcular la media propor cional. a) 18 b) 30 c) 24 d) 36 e) 32 6 . En una proporción continua, la suma de los extremos es 73 y la suma de los cuadrados de los extremos es 4177. Determine la media proporcional. a) 18 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32 7. Hallar el valor de b si: | = | = | y a + 2b -t- 3c — 430 a) 90 b) 30 c) 105 d) 35 e) 70 8 . La razón de 2 números es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Encontrar el mayor de los 2 números. a) 36 b) 48 c) 50 d) 60 e) 72 9 - S i : f = r i “ Í 5 I Í 5 I T F = 7 8 hallar: C + P + V a) 180 b) 240 d) 300 e) 210 10. Sabiendo que: = -|y donde (d + b) - (c + a) Hallar: a + b + c + d a) 101 b) 10 010 c) 1001 d) 111 e) 1010 11. La suma de tres números es 650. Esta suma es a la diferencia del primero con el último como 50 es a 9 y esta misma suma es a la di ferencia de los últimos como 25 es a 1. Hallar el mayor de los números. a) 295 b) 169 c) 195 d) 286 e) 210 12. La anchura de una alfombra rectangular es a su largo como 2 es a 3. Si se le corta por los 4 costados una tira de 10 cm de ancho, la su perficie disminuye en 56 dm2. Diga cuál es el largo de la alfombra. a ) 2 1 dm b ) 1 2 dm c )1 5 d m d )1 8 d m e) 28 dm 13. Para envasar 15 000 litros de aceite se dispo ne de botellas de 1/2 litro, 1 litro, 5 litros. Por cada botella de 5 litros hay 10 de un litro y 20 de medio litro. Al terminar de envasar el acei te, no sobra ninguna botella vacía. ¿Cuántas botellas había en total? a) 18 000 b) 30 000 c) 18 600 d) 27 000 e) 240 14. Se tiene una serie de razones geométricas continuas equivalentes, donde cada conse cuente es el triple de su antecedente; además la suma de sus extremos es 488. Dar como respuesta el mayor término. a) 486 b) 242 c) 345 d ) 620 e) 70 15. El número de niños y niñas en una fiesta in fantil está en la relación de 2 a 5. Si al cabo de 2 horas llegan 10 parejas y 6 niños, la nueva relación sería de 4 a 7. Hallar el número de asistentes. a) 96 b) 121 c) 84 d) 91 e) 110 16. Hace 8 años la razón de las edades de dos hermanos era 2/5 y dentro de 12 años la razón sería 4/5. Hallar la edad del menor de los her manos. a) 16 b) 18 c) 15 d) 9 e) 12 c) 270 c d ~ 48 ~ 75 = 143 A r itm é tic a | 1 7 17. La razón de x a y es 343 veces la razónde y2 a x2; hallar la razón de x a y. a) 5/1 b) 5/2 c) 6/1 d) 7/2 e) 7/1 18. En una urna se tienen 400 bolas, de las cua les 160 son blancas y las restantes, negras. ¿Cuántas blancas se deben añadir para que por cada 2 negras haya 3 bolas blancas? a) 200 b) 240 c) 100 d) 120 e) 0 19. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción geométrica continua, si la suma de sus cuatro términos es 32 y la razón entre la suma y diferencia de los dos primeros términos es 2? a) 9 b) 14 c) 10 d) 16 e) 12 20. En una proporción geométrica continua, el pri mer término es 1/9 del cuarto término. Si la suma de los medios es 72, hallar la diferencia de los extremos. a) 60 b) 90 c) 72 d) 96 e) 84 1 . b 5. d 9. a 13. b 17. e 2 . e 6 . c 10 . c 14. a 18. a 3. c 7. e 11 . d 15. e 19. d 4. c -QOÓ 12 . d 16. e 2 0 . d [ " e jer c ic io s PROPUESTOS 2 l 1. El promedio de 5 números es 85. Se conside ra un sexto número y el promedio aumenta en 15. Hallar el sexto número. a) 155 b) 165 c) 175 d) 170 e) 185 2. En un salón de clase, a alumnos tienen 14 años, b alumnos tienen 11 años y c alumnos tienen 13 años. SI el promedio de todos es 12 años, hallar a. a) 2b - a b) b - 2a c) 2b d) a - b e) a + b 3. El promedio aritmético de los cuadrados de 2 números consecutivos es 380,5. Hallar el me nor de ellos. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 4. Un estudiante de una academia ha obtenido 13; 14; 16; 12 y a en sus 5 exámenes, además el último tiene doble peso que los otros. Deter mina el valor de a si el promedio ponderado es 13,5. a) 12 b) 12,5 c) 13 d) 13,5 e) 14 5. El promedio de 50 números es 30. Si se re tiran 5 números cuyo pñomedlo es 48. ¿En cuánto disminuye el promedio? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 6 . El promedio de las edades de 5 hombres es 28 años, además ninguno de ellos es menor de 25 años. ¿Cuál es la máxima edad que po dría tener uno de ellos? a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 7. La suma de 2 números es 18 y sus promedios aritmético y armónico son consecutivos. Halla la diferencia de dichos números. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e )1 5 8 . El doble del promedio aritmético de 2 nú meros es igual al cuadrado de su promedio geométrico más 1. Si uno de los números es 120. ¿Cuál es el otro? a) 120 b) 60 c) 30 d) 4 e) 1 9. El promedio armónico de 40 números es 16 y el de otros 30 números es 12. Halle el prome dio armónico de los 70 números. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e )1 8 10. El mayor promedio de 2 números es 100, mientras que su menor promedio es 36. Hallar la diferencia de dichos números. a) 180 b) 160 c) 140 d) 120 e) 182 1 8 | C o lec ció n El Po s tu la n te 11. 12 . 13. El promedio armónico de 3 números es 180/37, uno de los números es 5 y el prome dio geométrico de los otros 2 números es 6 . Dar como respuesta el menor de estos 3 nú meros. a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 12 El promedio geométrico de 2 números es 12 y la suma de sus promedios, aritmético y armóni co es 26. ¿Cuál es la suma de dichos números? a) 40 d) 36 b) 18 e) 20 c) 32 La media aritmética de 5 números es 120. SI le agregamos 5 nuevos números la MA queda aumentada en 80. ¿Cuál es la MA de los 5 números? a) 200 d) 320 b) 240 e) 360 c) 280 14. La media aritmética de 2 números es 20,5 y la media geométrica es 20. Hallar el menor nú mero. a) 20,5 d) 11 b ) 11,5 e) 18 c) 16 15. La media aritmética de 3 números es 13/3, la media geométrica de los mismos es igual a 16. 17. 18. uno de ellos y su media armónica es igual a 27/13. ¿Cuál es uno de los números? a) 9 d) 6 b) 8 e) 10 c) 72 Un ciclista viaja de A hacia B a 60 km/h, y re gresa por el mismo camino a 30 km/h. Hallar la velocidad media de su recorrido total. a) 50 km/h d) 35 km/h b) 4 km/h e) 30 km/h c) 40 km/h ¿Cuántas horas emplea un móvil para reco rrer 480 km. Viajando a una velocidad media de 60 km/h, si hace 3 paradas de 15 minutos. a) 8,15 h d) 8,75 h b) 8,45 h e) 8,90 h c) 8,50 h Hallar la suma de dos números que se dife rencian en 24, y además la diferencia que existe entre su MG y MA es 6 . a) 24 d) 30 b) 26 e) 32 c) 28 U1 y 1 . c 5. c 9. c 13. c 17. d > 2 . b 6 . a 10 . b 14. c 18. d < I 3. d 7. a 11 . c 15. a U 4. d 8 , e 12 . d 16. c y MAGNITUDES PROPORCIONALES MAGNITUD Se entiende como magnitud, para nuestro estu dio, a todo aquello que experimenta cambios o variación, el cual puede ser medido o cuantificado (magnitud matemática). CANTIDAD Es un estado particular de la magnitud en un deter minado momento de análisis, el cual resulta de me dir (cuantificar) la variación, expresado en ciertas unidades de medida. Si tiene unidades se dice que es concreta, si carece de unidades es abstracta. RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES Dos magnitudes son proporcionales cuando al va riar uno de ellos entonces la otra también varía en la misma proporción. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP) Ejemplo: En un determinado momento Lolo coloca 5 estacas de diferentes alturas y luego procede a medir la sombra que proyecta cada una de ellas, todo ello lo anota en la siguiente tabla. Som bra proyectada (cm) 4 6 12 36 48 Altura de cada estaca (cm) 2 3 6 18 24 Resolución: Intuitivamente se puede afirmar que a mayor altura de la estaca, mayor sombra proyectada. Esta afir mación, matemáticamente se puede expresar así: Valor de la sombra 4 6 12 Valor de la altura 2 3 ~ 6 _ 36 _ 48 _ 2 (constante) 18 24 Donde los puntos corresponden a una recta que pasa por el origen de coordenadas, la cual presen ta una Inclinación respecto al eje horizontal (lla mada pendiente) que numéricamente es igual a la razón geométrica de los valores correspondientes a las magnitudes. Podemos observar que las magnitudes sombra proyectada y altura de las estacas cumplen que el cociente de sus valores correspondientes es cons tante y que su gráfica es una recta. Cuando 2 magnitudes cumplen estas 2 condicio nes les llamaremos magnitudes directamente pro porcionales. De aquí podemos mencionar que si los valores de las magnitudes aumentan (o dismi nuyen) en la misma proporción son directamente proporcionales. En general para dos magnitudes A y B estas se relacionan en forma directamente proporcional si el cociente de sus valores correspondientes es una constante. Notación: valor de (A) Valor de (A Valor de (B) Valor de (A) A DP B => — = constante A a B => A = k La gráfica de dos magnitudes DP, son puntos que pertenecen a una recta que pasa por el origen de coordenadas. En cualquier punto de la gráfica (excepto el origen de coordenadas) el cociente de cada par de valores resulta una constante. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP) Ejemplo: Una empresa constructora estudia, el tiempo que emplea un grupo de obreros para realizar una obra (todos los obreros rinden igual) y estos son los da tos obtenidos: n.° de obreros 10 20 24 30 40 50 Tiem po (días) 60 30 25 20 15 12 Se observa cuando hay más obr os menos tiem po se emplea. El comportamiento de los valores es inverso, esto lleva a señalar que la magnitud obreros y tiempo son inversamente proporciona les. Además de ello se tiene que: 10(60) = 20(30) = 24(25) = 30(20) = 40(15) = 50(12) = 600 2 0 | C o lec c ió n El Po s tu la n te De donde: (Valor de \/V a lo r del\ = constante (obra a rea|¡zar) \ obreros / \ tiempo / Gráficamente: tiempo (días) Cada sector rectangular que se genera con un punto de la gráfica y los ejes tienen la misma su perficie y que físicamente corresponde a la obra realizada. En general, dos magnitudes A y B son inversamen te proporcionales si el producto de sus valores co rrespondientes es constante. Notación: A(IP)B => (valor de A)(valor de B) = constante A Í i j B => A.B = k La gráfica de dos magnitudes 1P, son puntos que pertenecen a una rama de una hipérbola equilátera. En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores correspondientes resulta una constante. Propiedades Cuando se tienen más de 2 magnitudes comoA, B, C y D se analizan dos a dos, tomando a una de ellas como referencia para el análisis y mantenien do a las otras en su valor constante. A DP B (C y D constantes) A IP C (B y D constantes) A DP D (B y C constantes) AC=> — = constante BD A DP B = B DP A A IP B = B IP A • A IP B => A D P 1 A DP B =» A" DP Bn A IP B =» A " IP B n EJERCICIOS RESUELTOS 1. Una rueda A de 80 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra rueda C de 15 dientes que engrana con una rueda D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda D? R eso luc ión : Gráficamente, las ruedas están dispuestas como sigue: J A \ L O J ¿ 80 B J ° C 50 c Y lo ia - :---------------------- ; Si la rueda tiene menos dientes, da más ¡ vueltas; lo que indica que: I (N.° de dientes)(N.° de vueltas) = k (IR) Así, en un minuto: 1.° 80(120) = 50(N.° VB) =* N.° VB = 192 2.° Pero N.° VB = N.° Vc = 192 (tiene el mismo eje) 3.° 15(192) = 40(N.° V D) => N.° V D = 72 2. Según la ley de Boyle, la presión es inversa mente proporcional al volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿A qué presión está sometido un gas si al aumentar esta pre sión en 2 atmósferas, el volumen varía en un 40%? R eso luc ión : P: presión; V: volumen Observación: Si la presión aumenta; entonces el volumen disminuye, pues son IP. A r itm é tic a | 2 1 Así: P x V = k (constante) P x V = (P + 2 ) - ^ - x V 100 10P = 6 P + 12 4P = 12 =? P = 3 atmósferas Dos cantidades son inversamente proporcio nales a una tercera. ¿Cómo son entre sí estas cantidades? R eso luc ión : Sean A y B las magnitudes y C una tercera magnitud. Por dato: C iP B y C IP A Por propiedad: C IP (A x B) Por lo tanto: C x A x B = k (constante) .'. Son inversamente proporcionales. Un tendero hurta en el peso empleando una balanza de brazos desiguales que miden 22 cm y 20 cm. Una mujer compra 4,4 kg de azúcar y el tendero pone las pesas sobre el platillo correspondiente al brazo menor de la balanza. La mujer compra otros 4,4 kg dei mismo artículo y obliga al comerciante a po ner las pesas en el otro platillo. En los 8,8 kg ¿cuánto dio de más o menos el tendero? R eso luc ión : 20 22 P(20) = 4,4(22) . p = 4,84 kg Al colocar las pesas en el brazo menor nece sita más azúcar para equilibrar. Entrega de más: 0,44 kg M 20 22 i p j 4,4(20) = 22 x P =» P = 4 kg Entrega 0,4 kg menos; luego en los í trega: 0,44 - 0,40 = 0,04 kg = 40 g más I kg en- Una persona dispone de un capital de 584 250 soles que lo ha dividido en tres partes para Im ponerlas al 2%, al 4% y al 5% respectivamente. Sabiendo que todas las partes le producen igual interés. ¿Cuál es la parte impuesta al 4%? R eso luc ión : Si los intereses son iguales; entonces los ca pitales son IP a las tasas C-i x 2 = C2 x 4 = C3 x 5 1 Multiplicando por tenemos: C-i x 2 x -¿r = C2 x 4 x -L . = C3 x 5 x - 7- 20 20 * 20 10 9 i 5 C 3 4 : k ^ k : C1 + C2 + C3 1 Ó T 5 + 4 ^ k = 584 250 = 30 750 19 Luego, la parte Impuesta al 4% es: C2 = 5 x 30 750 = 153 750 soles [ " e je r c ic io s PROPUESTOS T j 1. A es directamente proporcional a la raíz cua drada de B e Inversamente proporcional al cuadrado de C. Cuando A es 8 , B es 16 y C es 6 . Calcular el valor de B cuando A sea 9 y C sea 4. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)< 2. Se tienen las magnitudes A; B; C y D tales que A es DP a B; A es IP a C: A es IP a D. Cuando A = 5; B = 2C y D = 2, hallar el valor de A cuando B = 48; C = 2 y D = 3. a) 36 b) 35 c) 40 d )4 5 e) 32 3. Se sabe que una magnitud A es Inversamente proporcional a B. Hallar el valor de A sabiendo que si disminuye en 36 unidades el valor de B varía en un cuarto. a) 24 b) 36 c) 180 d) 60 e) 48 4. X varía en razón directa a Y e inversa al cua drado de Z. Cuando X es 10, Y es 4 y Z es 14. Hallar el valor de X cuando Y sea 16 y Z sea 7. a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120 5. A es directamente proporcional al cuadrado de B e inversamente proporcional a la raíz cúbica de C. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye en sus 26/27, ¿qué sucede con el valor de A? a) Se multiplica por 12 b) Disminuye en 1/11 de su valor c) Aumenta en 1/11 de su valor d) Se triplica e) Se cuadruplica 6 . A y B son directamente proporcionales. Cuan do el valor inicial de B se triplica, el valor de A aumenta en 10 unidades. Cuando el nuevo valor de B se divide entre 5, ¿cómo varía el valor de A respecto al inicial? a) Aumenta en 15 b) Disminuye en 10 c) Disminuye en 12 d) Disminuye en 2 e) No se altera 7. A y B son inversamente proporcionales con constante de proporcionalidad igual a k. ¿Cuál es este valor si la constante de proporcionali dad entre la suma y diferencia de A y 1/B es 6? a) 6/5 b) 7/5 c) 2 d) 7 e) 6/7 8 . Sea F una función de proporcionalidad, tal que: F(4) + F(6 ) = 20 F(31) Hallar el valor del producto: —- — F(7) F(3) a) 372 b) 744 c) 558 d ) 704 e ) 1488 9. El consumo es directamente proporcional a su sueldo. El resto lo ahorra, un señor cuyo suel do es $560 ahorra $70. Si recibe un aumento, consume $910. ¿De cuánto es el aumento? a) $450 b) $480 c) $490 d) $560 e) $500 10. La figura muestra los engranajes W, I, L e Y con 8 ; 1 2 ; 16 y 6 dientes cada uno respectiva mente. Si W da 18 vueltas por minuto, ¿cuán tas vueltas dará Y en 3 minutos? 2 2 j C ole c c ió n E l Po s tu la n te ------------------------------------- a) 24 b) 48 c) 72 d ) 96 e) 100 11. Una rueda A de 20 dientes engranada con otra rueda B de 75 dientes. Fija al eje B, hay otra rueda C de 35 dientes que engrana con otra rueda D de 20 dientes. Si A da 60 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D? a) 24 b) 28 c) 36 d) 60 e) 21 12. Se tienen 2 magnitudes A y B; tales que A es inversamente proporcional con B2; si cuando B aumenta en 25% el valor de A varia en 144 unidades. ¿En cuánto aumenta o disminuye cuando B disminuye en 20%? a) Aumenta (22%) b) Disminuye (22%) c) Disminuye (10%) d) Aumenta (10%) e) Aumenta (50%) 13. SI: A es DP a B2 (C = constante); C es DP a VA (B = constante). Sea la tabla:a A 4 X B 2 1 / 2 C 1 1 / 2 hallar x. a) 1/4 b) 1/8 c) 1/16 d ) 1 ' e ) 1/64 14. SI A es IP a B2; A es DP a D y D es IP a VC , hallar x de la siguiente tabla. A 2 4 B 2 X C 9 4 D 4 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 12 tn u > 1 . d 5. a 9. b N 13. c 2 . c 6 . d 10 . d 14. b < 3. c 7. b 11 . b u 4. b 8 . b 1 2 . a J REPARTO PROPORCIONAL Como aplicación de la proporcionalidad consiste en repartir una cantidad en partes directa o Inver samente proporcionales a ciertas cantidades que llamaremos indicadores. Problema general Repartir S en partes P2; ...; Pn que sean DP a b-i; b2; ...; bn. Determinar cada una de las partes. R eso luc ión : Partes: P,; P2; ...; Pn => S = P, + P2 + ... + Pn Indicadores: b-,; b2; ...; bn Por dato: P,; P2; ...; Pn DP b^ b2; ...; bn Pl P2 Pn bi = k (constante de proporcionalidad) Por propiedad: k = Pl + Ps + ••• + Pn ^ k = — bi + b2 + ... + bn Sj S¡: suma de indicadores Luego: P, = b,k; P2 = b2k; Pn = bnk Ejemplos: 1. Repartir 25 200 en partes DP a 5; 7 y 9. Deter minar cada una de las partes. R eso luc ión : Sean las partes: A ; B y C = > S = A + B + C = 25 200 Del dato: A; B; C DP 5; 7; 9 ^ S ¡ = 5 + 7 + 9 = 21 =■ k = =* k = 1200 21 Luego: A = 5.(1200) = 6000 B = 7.(1200) = 8400 C = 9.(1200) = 10 800 2. Repartir 12 600 en partes IP a 1/4; 1/7 y 1/10. Dar como respuesta la menor de las partes. R eso luc ión : Partes: A ;B y C = > S = A + B + C = 12 600 Usando propiedad: A IP - 1 ^ A DP 4 4 B IP U B DP 7 C IP -!-=> C DP 10 10 Luego: S¡ = 4 + 7 + 10 = 21 k = 12 600 21 k = 600 Por tanto, la menor de las partes es: A = 4(600) = 2400 3. Repartir 252 800 en partes DP a 3; 4 y 6 e IP a 5; 5 y 7. Determinar la diferencia entre la mayor y menor de las partes. R eso luc ión : Partes: A; B y C a S = A + B + C = 252 800 Como: A; B :C IP 5 ; 5; 7 a A;B; C DP 5 5 7 MCM (5; 7) = 35; luego: A DP 3 A A DP DP f . 3 5 = 21 5 5 B DP 4 a B DP 1 , B DP - .3 5 = 28 5 5 C DP 6 A C DP 1=>C DP y .35 = 30 a S¡ = 21 + 28 + 30 = 7 9 a k = ^ | |5 ° = 3200 Por lo tanto, la diferencia entre la mayor y me nor parte es: C - A = 30k — 21 k = 9(3200) = 28 800 REGLA DE COMPAÑÍA En este caso se reparten las ganancias (G) o pér didas directamente proporcionales a los capitales (C) aportados y los tiempos (T) de imposición de cada uno de los socios, respectivamente. Es decir: G DP C (T constante) y G DP T (C constante) _G_ CT G-| G2 C1T1 C2T2 C, En particular, si: 1. C-j = C2 = ... = Cn, entonces: Gi _ G2 _ _ Gn _ T ™ " ' = \ 1 • G DP C.T = En general: = k (constante) G„ ■ = k 2 4 | C o lec ció n El Po s tu la n te 2. T-i = T2 = ... = Tn, entonces: EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dos pastores que llevan 5 y 3 panes respecti vamente, se encuentran con un cazador ham briento y comparten con este los 8 panes en partes iguales. SI el cazador pagó S/.8.00 por su parte. ¿Cómo deben repartirse los pasto res el dinero entre si? R eso luc ión : Total de panes = 8 1,er pastor tiene: 5 2 ° pastor tiene: 3 Como c/u de los 3 come 8/3 o y El 1 ,er pastor ayuda con: 5 - — = — El 2.° pastor ayuda con: 3 - ^ Entonces el reparto se hace en forma DP a lo que cada uno ayuda. O sea: 1.° DP 7 El primero recibe: 7 soles y el segundo recibe: 1 sol 2. Repartir 154 en partes directamente propor cionales a 2/3; 1/4; 1/5; 1/6. R eso luc ión : S = 154 Partes: 1.a DP —x 6 0 = 40 3 2.a D P -1 x 6 0 = 15 4 3.a DP | x 6 0 = 12 5 ’ 4.a DP 4 x 60 = 10 6 W 7 k = 154 77 Observación: 60 = MCM (3; 4; 5 y 6) Luego: 1.a -► 80; 2.a -> 30; 3.a — 24; 4.a — 20 3. Una persona dispuso en su testamento que se entrega a 3 sobrinos suyos la cantidad de S/.19 695 para que se repartan propor- clonalmente a las edades que cada uno de ellos tenga el día que falleciera. Uno de ellos tenía 36 años el día que su tío falleció y le correspondió S/.7020 pero renunció a ellos y el reparto se hizo entre los otros 2, también proporcionales a sus edades, por lo que a uno de ellos le correspondió S/.2700 adicionales. Calcular las edades. R eso luc ión : Primer reparto (19 695) DP 36 ->• 36 x — — = 7020 36 + (a + b) entonces: a + b = 65 Segundo reparto (7020) DP a —> a x Z°20 = 2700 ^ a = 25 65 b = 40 .-. Las edades son: 36; 25 y 40 4. Un hombre decide repartir una herencia en forma proporcional al orden en que nacieron sus hijos. La herencia total es S/.480 000; adi cionalmente deja S/.160 000 para el mayor, de tal modo que el primero y último hijo reci ban igual herencia. ¿Cuál es el mayor número de hijos que tiene este personaje? R eso luc ión : S = 480 000 Orden: 1.° 2.° 3.° i mayor Les toca: k; 2k; 3k; ...; nk De donde: k + 2k + 3k + ...+ nk = 480 000 n(n + 1) k x — —— - = 480 000 ...(1) n.° i menor A r itm é t ic a | 2 5 Además, por dato: k + 160 000 = nk ■ > (n - 1)k = 160 000 ...(2) Dividiendo (1) (2): n2 - 5n + 6 = 0 (n - 3 )(n -2 ) = 0 => ^ = 3; n2 = 2 Mayor número de hijos = 3 5. Se reparte 738 en forma directamente pro porcional a dos cantidades de modo que ellas están en ia relación de 32 a 9. Hallar la suma de las cifras de la cantidad menor. R eso luc ión : Por condición del problema: A = 32 A = 32K B 9 B = 9K Entonces: A + B = 41K = 738 K = 18 Luego: A = 32(18) = 576 B = 9(18) = 162 Suma de cifras de menor cantidad: 1 + 6 + 2 = 9 [^EJERCICIOS PROPUESTOS l 1. Efectuar el reparto de 7227 en forma inversa mente proporcional a 4; 8 y 12. Dar la diferen cia entre la mayor y menor de las partes que se obtiene. a) 2828 b) 2728 C) 2628 d) 2840 e) 2943 2. Se reparte una cantidad N en forma DP a los números 2; 3; 5 y 7. La tercera cantidad repar tida (en orden ascendente) resultó 600. Hallar la suma de las cifras de la cantidad total. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 3. Se desea repartir $7200 en partes DP a las raíces cuadradas de los números 200; 392 y 288. Dar como respuesta la menor de las partes. a) $2000 b) $2800 c )$ 1 2 0 0 d) $2400 e ) $3200 4. Repartir 1240 DP a 2400; 2401; 2402; 2403 y 2404. Hallar la suma de cifras de la mayor parte. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 5. Repartir 648 en forma DP a 4 y 6 y a la vez en forma IP a 3 y 9. Dar la diferencia de las partes obtenidas. a) 214 b) 215 c )216 d) 217 e) 218 6 . El profesor de aritmética decidió premiar a sus mejores alumnos regalándoles $9200 en forma directamente proporcional al número de problemas que resuelven de la guía. El prime ro resolvió 17 problemas, el segundo 15 y el tercero 14. Indica cuánto le tocó al segundo. a) 3000 b) 3400 c) 2800 d) 3500 e) 4000 7. Repartir 28 380 en partes IP a los números 2/7; 4/5; 6/7 y 12/15. Dar como respuesta la menor de las partes. a) 3000 b) 3400 c) 2800 d) 4620 e) 4000 8 . Repartir 580 en partes DP a los números 6 ; 8 y 9 e IP a los números 5; 4 y 12, además DP a los números 10; 7 y 4 Indicar la diferencia entre el mayor y la menor de las partes. a) 180 b) 160 c) 200 d) 250 e) 220 9. Se reparten 1000 en tres partes inversamen te proporcionales a 183; 64 y 242. Dar como respuesta una de las partes. a) 144 b) 288 c) 576 d) 324 e) 162 10. Descomponer 304 000 en tres partes de ma nera que los 2/3 de ¡a primera sea igual a los 5/6 de la segunda y los 4/9 de la segunda igual a los 8/7 de ia tercera. Dar como res puesta la menor parte. a) 44 200 b) 44 400 c) 44 600 d) 44 800 e) 45 000 2 6 I C o lec ció n El Po s tu la n te 11. Al repartir N en tres partes A, B y C de manera que A es a B como 3 es a 4 y B es a C como 7 es a 3, se obtuvo como parte mayor 1400. Calcular el valor de N. a) 2000 b) 6400 c) 3050 d) 2300 e) 3250 12. Se reparte una herencia en forma proporcio nal a las edades de 3 personas y recibieron 6 ; 12 y 24 millones, respectivamente. ¿Cuánto le habría tocado al segundo, si el reparto hubie ra sido Inverso a sus edades? a) 6 millones b) 12 millones c) 24 millones d) 9 millones e) 18 millones 13. Hallar tres números que sumen 472 y que sus cuadrados sean proporcionales a 1/8; 1/50 y 1/98. Dar el mayor, a) 180 b) 430 c) 120 d) 280 e) 320 14. Tres automovilistas deciden repartirse $3100 en forma proporcional a las velocidades de sus vehículos. Si luego de una competencia se observó que el primero de demoró 2 h, el segundo 3 h y el tercero 5 h en llegar a la meta. Hallar cuánto le tocó al primero. a) 1500 b) 1200 c) 1300 d) 600 e) 900 15. Al repartir $76 700 en 3 partes DP a 3; 5 y 6 y DP a f72\ V128 y V200, respectivamen te. ¿Cuál es la diferencia entre las 2 mayores partes? a) 10 000 b) 11 000 c) 12 000 d) 13 000 e) 14 000 16. Una cantidad es repartida en forma proporcio nal a tres números y son 96; 32 y 24. ¿Cuál habría sido la mayor de las partes; si el repar to se hubiera hecho en forma inversamente proporcional a los mismos números? a) 76 b) 42 c) 48 d) 72 e) 60 17. Las edades de siete hermanos son números consecutivos. Si se reparte una cantidad de so les proporcionalmente a sus edades, el menor recibe la mitad del mayor y el tercero 80 000 soles, ¿cuántos soles recibe el quinto? a) 64 000 b) 72 000 c) 80 000 d) 100 000 e) 96 000 18. Dos agricultores tienen 4 y 3 hectáreas de terreno que trabajarán en conjunto. Para con cluir más rápido contratan a un obrero que cobra 70 soles. Se desea saber lo que cada uno debe pagar al obrero, si al final los tres trabajan igual. a) 50 soles y 20 soles b) 40 soles y 30 soles c) 60 soles y 10 soles d) 45 soles y 25 soles e) 60 soles y 10 soles 1 . c 5. c 9. b 13. d 2 . c 6 . a 1 0 . d 14. a 3. a 7. d 11 . c 15. d 4. a 8 . e 1 2 . b 16. a 17. d 18. a REGLA DE TRES Es una aplicación de la proporcionalidad donde al comparar dos o más magnitudes se determina un valor desconocido. Se considera como magni tud dependiente a la magnitud que contiene a la incógnita. REGLA DE TRES SIMPLE (R3S) Resulta de compararse dos magnitudes directamente proporcionales o dos magnitudes inversa mente proporcionales. R3SD. Sean A y B dos magnitudes DP. Entonces = k, luego: B ~ = -— (x, es incógnita) bi b2 Disposición práctica: Magnitudes: Valores correspondientes 2 a t r 1t>1 % x ) b2 ) b. R3SI. Sean A y B dos magnitudes IP, entonces: A x B = k, luego: bi= xb2 => x = a t — Disposición práctica: Magnitudes: Valores correspondientes A) B a, b, x ) b2; bi REGLA DE TRES COMPUESTA (R3C) Resulta de compararse más de dos magnitudes. Se compara siempre la magnitud dependiente con otra, independiente de las demás. Sean A, B y C tres magnitudes, donde B es la mag nitud dependiente (contiene a la incógnita). Consideremos A y B dos magnitudes DP a 1 a 2 _x_ _ £2 b, ~ x ^ b-i ~~ ai B y C dos magnitudes IP . . . (2 ) X ^1b-tC-i = XC2 =* — = — b, c2 De (1) y (2): _x_ bi b, — - Disposición práctica: Magnitudes: Valores correspondientes X = bll f c y iú J z i: Al compararse una magnitud que hace obra (hombres, operarios, obreros, máquinas, etc.) con la magnitud tiempo (días, horas, h/d, minutos, etc.) siempre serán inversa mente proporcionales. EJERCICIOS RESUELTOS Una guarnición de 400 soldados situados en un fuerte, tienen víveres para 180 días si con sume 900 gramos por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100 soldados pero no recibirá víveres antes de 240 días, ¿cuál de berá ser la ración de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles? R eso luc ión : Por regla de tres compuesta: Soldados días Ración / día H 400 / 180 / 900 »t 500 ^ 240 ^ x Luego: x = 900 x a 500 240 x = 540 gramos Se emplearon m obreros para ejecutar una obra y al cabo de a días hicieron 1/n de aque lla. ¿Cuántos obreros hubo que aumentar para terminar la obra en b días más? R eso luc ión : obreros días m a obra 1 m + x 2 8 | C o lec c ió n El Po s tu la n te o (n - 1) n m + x = m x f - x - X 7 b n 1 x = m x § ( n - 1 ) - m ^ x = -^-(an - a - b) b 3. Un contratista dice que puede term inar un tra mo de autopista en 3 días si le proporcionan cierto tipo de máquinas; pero que con 3 má quinas adicionales de dicho tipo puede hacer el trabajo en 2 días. Si el rendimiento de las máquinas es el mismo. ¿Cuántos días em pleará una máquina para hacer el trabajo? R eso luc ión Suponemos que ¡nicialmente hay N máquinas de dicho tipo; entonces: máquinas días N t 3 ) ^ N + 3 = N x - | N + 3 ' 2 * 2 2N + 6 = 3N => N Luego: máquinas H x = 3 x — => x = 18 1 4. Quince obreros han hecho la mitad de un tra bajo en veinte días. En ese momento abando nan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tar darán en terminar el trabajo los obreros que quedan? R eso luc ión : Obreros días 15 ( 20 10 V x / => x = 20 X — => x = 30 10 5. Un reloj se adelanta minuto y medio cada 24 horas. Después de 46 días 21 horas 20 minu tos. ¿Cuánto se adelantó el reloj? R eso luc ión : Expresando todo en horas, tenemos: 46 días 21 h 20 min = horas Luego: tiempo (horas) adelanto mínimo 24 ¿ 3376 ( 2 ) 3 x = mjn = 1 h 10 min 20 s 3 6 . Una obra debía terminarse en 30 días em pleando 20 obreros, trabajando 8 horas dia rias. Después de 12 días de trabajo, se pidió que la obra quedase terminada 6 días antes de aquel plazo y así se hizo. ¿Cuántos obreros se aumentaron teniendo presente que se au mentó también en dos horas el trabajo diario? R eso luc ión : Inicialmente debían hacer la obra en 30 días; lo que indica que en un día hacen 1 12 2 — ; entonces en 12 días hacen: — = — 30 30 5 2 3Faltando asi: 1 - — = -p, luego: 5 5 Obreros días h/d obra 20 f 30 20 + x f 3 ° ) 8 ) 1 \ V 12 / 10 i 3/5 ) => 20 + x = 20 x f ^ x — x ~ 12 10 5 20 + x = 24 = *x = 4 7. Un reloj marca la hora a las 0 horas de un cier to día; si se sabe que se adelanta 4 minutos cada 12 horas. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que nuevamente marque la hora exacta? R eso luc ión : Si durante 12 horas adelanta 4 minutos, en tonces en un día adelanta 8 minutos. Así: adelanto n.° días 8 t720 \ x / => x = 1 x = 90 días 8 '[^EJERCICIOS PROPUESTOS" ] Si 64 obreros pueden construir una carretera en 24 días, ¿cuántos obreros podrán hacer la misma carretera en 48 días? A r itm é tic a | 2 9 a) 16 b) 24 c) 32 d) 36 e) 30 2. Carlos puede hacer un trabajo en 18 horas. ¿En qué tiempo podrá hacer un trabajo 1,4 veces más difícil? a) 36,2 horas b) 43,2 horas c) 25,2 horas d) 40,2 horas e) 28,2 horas 3. 24 taladros en 8 horas pueden hacer 7680 agujeros. ¿Cuántos taladros en 9 horas de trabajo podrán hacer 7200 agujeros? a) 20 b) 18 c) 16 d) 24 e) 25 4. Por pintar una pared de 4,5 m por 3,6 m me cobran $36. ¿Cuánto me cobrarán por pintar tres paredes de 2,4 m por 7,5 m? a) $90 b) $105 c) $108 d) $111 e) $120 5. Para su comercialización, la harina de trigo se distribuye en cajas cúbicas de diferentes dimensiones. Si una caja de 6 dm de arista, conteniendo harina de trigo, cuesta 216 soles, ¿cuánto costará una caja de 8 dm de arista? a) 288 soles b) 360 soles c) 464 soles d) 512 soles e) 560 soles 6 . Si a obreros pueden hacer una obra en b días ¿en cuántos días pueden hacer una obra de triple dificultad, ei doble de obreros, cada uno de ellos de doble habilidad que los anteriores? a) | b) | b c) b d) 2b e) 3b 7. A y B pueden hacer una obra én tres días. Si A trabaja solo, se demora siete dias. El primer día solo trabajó B, y a partir del segundo día los dos trabajaron juntos. La cantidad de días que demoraron en hacer la obra es: 3 ) 2 y b ) 2 y C ) 4 y d) 3 y e) 3 y 8 . Un grupo de 12 alumnos resuelve 120 problemas de Física en dos horas. ¿Cuántos problemas resolverá otro grupo de ocho alumnos, el doble de eficientes que los anteriores, en cinco horas? a) 136 b) 100 c) 480 d) 400 e) 800 9. Si ocho bolitas de 0,4 mm de radio pesan 256 gramos, con siete bolitas del mismo material que los anteriores, pero con radio 0,6 mm, ¿qué peso tendrán? a) 960 g b) 1000g c) 1020g d) 1140 g e) 1180 g 10. Treinta obreros pueden hacer una obra en 48 días. Si 18 de ellos disminuyen su rendimiento en su tercera parte, ¿en qué tiempo harían la misma obra todo el grupo? a) 60 . b) 24 c) 36 d) 54 e) 72 11. Juan compra 15 kg de arroz para 18 días para su familia que está compuesta de 5 personas en total. Sin embargo, pasados 6 días llegan 3 familiares más. ¿Cuánto durará el arroz en total? a) 12 días b) 15 días c) 13,5 días d) 10 días e) 12,5 días 12. Si Manuel puede hacer 24 problemas en tres horas, ¿cuántos problemas cuya dificultad es a la de los anteriores como 6 es a 5, podrá hacer Manuel en el mismo tiempo? a) 28 b) 29 c) 24 d) 18 e) 20 13. Sesenta obreros hacen los 3/8 de una obra en 27 días. Si se retiran 24 obreros y los res tantes concluyen la obra, ¿qué tiempo en total duró la obra? a) 75 días b) 72 días c) 45 días d) 102 días e) 62,5 días 14. Veinticuatro obreros pueden hacer una obra en 60 días, si trabajan 9 horas diarias. 20 días luego de iniciado el trabajo se enferman 6 obreros y los restantes trabajan 10 horas dia rias hasta terminar la obra. ¿Cuánto duró la obra en total? 3 0 | C olección E l Po s tu la n te a) 48 días b) 60 días c) 72 días d) 68 días e) 64 días 15. Una secretaria escribe 48 palabras por minu to. ¿Cuántas palabras escribirá en 6 minutos, si disminuye su velocidad en su cuarta parte? a ) 108 B) 162 C) 180 d ) 200 E ) 216 16. Tres campesinos pueden cosechar un terreno de 80 m2 de área. ¿Cuántos campesinos se rán necesarios para cosechar un terreno de 1,2 hectáreas? a) 300 b) 540 c) 320 d) 400 e) 450 17. Cuarenta y cinco obreros pueden construir 600 m de un muro de 1,5 m de alto. ¿Cuántos obreros construirán 1150 m de un muro de 1.6 m de alto? a) 84 b) 88 c) 92 d) 96 e) 98 18. Ocho obreros cavan una zanja de 1,6 m de diámetro y 12 m de profundidad. ¿Cuántos obreros podrán cavar una zanja de 2 m de diámetro y 24 m de profundidad? a) 24 b) 25 c) 28 d) 15 e) 18 19. 27 obrerospueden hacer una obra en 42 días, si trabajan 8 horas diarias. ¿Cuánto tardarián 16 obreros, trabajando 7 horas diarias, para hacer una obra cuya dificultad es a la anterior como 4 es a 3? a) 72 días b) 84 días c) 88 días d) 96 días e) 108 días 20. Dieciocho obreros pueden hacer una obra en 15 dias. Si luego de haber trabajado 5 días se retiran 3 obreros, ¿cuál será el tiempo total de duración de ia obra? a) 12 días b) 15 días c) 17 días d) 20 días e) 21 días 1 . c 5. d 9. d 13. d 17. c 2 . c 6 . b 1 0 . a 14. d 18. b 3. a 7. d 11 . c 15. e 19. e 4. e 8 . d 1 2 . e 16. e 2 0 . c PORCENTAJES - MEZCLAS PORCENTAJES Regla del tanto por cuanto. En algunas oportu nidades es necesario dividir lo que tenemos en partes ¡guales para hacer una distribución de estas partes. Ejemplo: Se tiene una bolsa con 40 manzanas el cual se desea dividir en 8 partes iguales y se han de tomar 6 de ellas. R eso luc ión : El procedimiento a seguir es: Dividiendo 40 en 8 partes iguales. T - Tomamos 6 de estas partes: 6(5) = 30 Interpretación: El 6 por 8 de las 40 manzanas es 30 manzanas. Matemáticamente: 6 ( 4 ^ = 30 En general si tenemos N objetos. ¿Cuál será el a por b de N? Se toman a partes Matemáticamente: a /— \ b De aquí podemos señalar que el tanto por cuanto viene a ser un procedimiento aritmético que con siste en dividir un todo en partes ¡guales y tomar tantos de ellos como se Indique. En la vida diaria el tanto por cuanto más utilizado es aquel que divide al todo en 100 partes ¡guales y al que se le denomina: tanto por ciento. Ejemplo: Calcule el 15 por ciento de 400. 1 5 ( t 7 í 7t ) = 6 0V1 oo / En general si una cantidad se divide en 100 partes, cada parte representa (1/ 100 ) del total a la cual llamaremos el 1 por ciento y lo denotaremos: 1% 100 partes ¡guales 1 1 1 1 1 1 100 100 100 100 100 100 Uno por ciento Entonces: A por ciento < > A% < > 60 partes O 6o (— W > 60% O f F \ 100 / 5 10 partes O 1 0 Í — W > 10% O - L \ 100 / 10 40 partes O 40% < > § 25 partes O 25( — ) < > 25% O 1 1100/ 4 100 partes O 100% 1 Además: 40% de 400 = |(4 0 0 ) = 160 5 75% de 560 = |(5 6 0 ) = 420 25% de 900 = -1(900) = 225 15% de 600 = A (600) = '90 65% de 400 = | | ( 4 0 0 ) = 260 Porcentaje. Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una cantidad. Ejemplo: Halle el 20% de 400 20%(400) = 80 tanto porcentaje por ciento Operaciones con porcentajes 1. a%N + b%N = (a + b)%N Ejemplos: • 12%N + 34%N = 46%N • 118%N + 60%N = 178%N • 30%N + 11,5%N = 41,5%N • N + 13%N = 113%N 3 2 | C ole c c ió n El Po s tu la n te 2. x%N - y%N = (x - y)%N Ejemplos: • 74%N - 24% N = 50%N • 169%N - 29% N = 140%N • 112%N - 64%N = 48%N • N - 14%N = 86%N 3. a x (b%N) = (a x b)%N Ejemplos: • 3(50%N) = 150%N • 4(75 %N) = 300%N = 3N • 5,5(2%N) = 11 %N 4. El a% del b% del c% de N es: a%b%c%N Aplicación comercial Un comerciante compró un pantalón en S/.50 (P0) y fija para su venta un precio de S/.80 (PF). Sin embargo lo vende en S/.70 (Pv) debido a que hizo una rebaja de S/.10 (R). Aparentemente está ganando S/.20 (GB), pero esta operación le generó gastos por un valor de S/.5, (gas tos) por lo cual realmente esta ganando S/.15 (Gn). GB = S/.20 Gn = S/.15 gastos = SI. 5 R = S/.10 Pe Pv Pf S/.50 S/.70 S/.80 c Y lo ta /: ........................................ ................................ | Las ganancias (o pérdidas) se representan l como un tanto por ciento del precio de costo. | Las rebajas se representan como un tanto I por ciento del precio fijado. '> Pv = Pe + ganancia MEZCLA Es la reunión de dos o más sustancias (ingredien tes) en cantidades arbitrarias conservando cada una de ellas su propia naturaleza. Regla de mezcla. La regla de mezcla se origina por el deseo de los comerciantes en determinar el precio de venta de una unidad de medida de la mezcla. Para ello se vale de algunos procedimien tos aritméticos, lo cual en su conjunto constituye la regla de mezcla. Ejemplo: Un comerciante hace el siguiente pedido a un dis tribuidor mayorista de café: Café Cantidad en kg Precio unitario Extra (E) 50 S/.7 Superior (S) 20 S/.5 Corriente (C) 15 S/.4 Para venderlo a sus clientes el comerciante mezcla los tres tipos de café. ¿A cómo debe vender el kg de la mezcla para ga nar el 20%? R eso luc ión : Para determinar dicho precio de venta el comer ciante procede del siguiente modo: 1 Determina el costo de su inversión m » ] l i f H H Cantidad (kg): 50 20 15 Precios unitarios: S/.7 S/.5 S/.4 Costos parciales: S/.350 S/.100 S/.60 Costos totales: S/.510 Peso total = 50 + 20 + 15 = 85 kg Calcula el costo por unidad de medida (kg) de la mezcla. A este costo por kg se le denomina precio medio (Pm) ya que es un precio que no genera ni ocasiona pérdida. Costo por 1 kg de mezcla = Pm S/.510 85 = S/.6 Se observa también que: S/.4 < S/.6 < S/.7 Precio menor Precio medio Precio mayor Si comparamos los precios unitarios con el precio medio se tiene: Cantidades 50 kg E 20 kg s Precios unitarios S/.7 S/.5 Precio medio: S/.6 S/.6 Pierde Gana Por 1 kg: S/.1 S/.1 15 kg c S/.4 S/.6 Gana S/.2 A r itm é tic a | 3 3 Pero la pérdida y ganancia es aparente ya que al final estas se compensan. Pérdida = Ganancia 50(1) = 20(1) + 15(2) S/.50 = S/.50 Sobre el precio medio el comerciante determ i na el precio de venta considerando su ganan cia respectiva. Precio de venta = S/.6 + 20%(S/.6) = S/,7,20 Luego: El comerciante debe vender el kilogramo de la mezcla en S/,7,20 para ganar el 20%. En general para k sustancias: H H H - H Cantidades: C, Precios unitarios: P-i Se cumple lo siguiente: C, P2 C3 P3 C k Pk Precio C ÍP1 + C 2P2 + C 3P3 + ... + CkP|< medio = C ,+ C2 + C3 + . . .+ Ck Mejor aún: Precio _ Costo total medio Peso total Promedio ponderado de precios Precio menor < precio medio < Precio mayor Ganancia aparente = Pérdida aparente IV. Precio venta = precio medio + ganancia Comercialmente la pureza alcohólica se ex presa en grados y para ello convencionalmen te se tiene que: (%) O (°) volumen de Grado de mezcla = alcoho1 puro x (100°) volumen total Ejemplo: Se mezclan 80 L de alcohol de 25° con 120 L de 40°. Calcula el grado de la mezcla. R eso luc ión : Se procede de manera análoga que para el cálculo del precio medio. Tipo de alcohol: I I Volumen: 80 L 120 L Grado: ,25° 40° 8 0 (2 5 )+ 120(40) Grado medio = —— ——------- 80 + 120 En general para k tipos de alcohol: = 34° Tipo: 1 Volumen: V, Grado: G-i V 2 G2 V3 G3 Vk Gk Grado V|G-| 4- V2G2 ■+■ V3G3 + ... + N^G^ medi° ñ̂ + ^ t w + t t + h Aleación. Es la mezcla de dos o más metales me diante el proceso de fundición. En las aleaciones por convencionalismo los metales se clasifican en: a. Finos. Oro, plata, platino. b. Ordinarios. Cobre, hierro, zinc. La pureza de una aleación se determina mediante la relación entre el peso del metal fino empleado y el peso total de ia aleación, a dicha relación se le conoce como la ley de la aleación. Ejemplo inductivo: Se tiene una aleación de 36 g de plata pura con 12 g de zinc, ¿cuál es la ley de la aleación? R eso luc ión : Plata■ Peso: 36 g 12 g Total 48 g => Ley = PesoP1̂ = 36 = Q.750 Peso total 48 La aleación del peso del metal ordinario con el peso total se le conoce como la liga de la aleación: L i g a = Pes° zinc = 12 = 025Q Peso total 48 Se deduce que: Ley + Liga = 0,750 + 0,250 = 1 En general Para una aleación: Peso t fino j rnetaJj] Peso me ta i] )0 .:í f | ord inarió 'fl 3 4 | C o lec ció n El Po s tu la n te Ley = Liga = Peso metal fino Peso total Peso metal ordinario Peso total III. 0 < ley de la aleación < 1 Comercialmente la ley del oro se expresa en qui lates y para ello convencionalmente se establece que si la aleación contiene solo oro puro es de 24 quilates. Una sortija de 14 quilates significa que el peso total se divide en 24 partes iguales y 14 de ellos son de oro puro.En el ejemplo anterior vamos a determinar su ley en quilates. Oro 9 g : Cobre [13 x 2 l * 18 Ley = 18 quilates Ley = Total 12 g X 2 ) X 2 24 partes Q 1Q — . = — ; de donde se obtiene: 12 24 Ley = (Peso metal fino) n.° de quilates (Peso total) 24 EJERCICIOS RESUELTOS Un fabricante reduce 4% el precio de los artí culos que fabrica. Para que aumente en 8% la cifra total de sus ingresos, sus ventas tendrán que aumentar en: R eso luc ión : Sean P el precio y N el número de artículos; entonces: Ingresos = P x N Después: P disminuye en 4%; ahora tiene: 96%P y N aumenta en x%; ahora es: (100 + x)%N Para que los Ingresos aumenten en 8% 108 96 (100 + x ) Así: -¡zjg-x PN = j ^ - P x . . . N 100 100 100 10 800 = 9600 + 1200 = 96x x = 12,5% 96x Se estima que una mezcladora de concreto sufre una depreciación de 10% por cada año de uso, respecto al precio que tuvo al comen zar cada año. SI al cabo de 4 años su precio es de S/. 131 220; hallar el costo original de la mezcladora. R eso luc ión : La depreciación no es sino la pérdida del valor del bien. Así, si el costo inicial es de N soles. Depreciación Queda 1 .er año 10% N 90% N = P 2 .° año 10% P 90% P = R 3.er año 10% R 90% R = S 4 ° año 10% S 90% S Por dato: — x S = 131 220 100 — x ^ - x U ; X ^ - x N = 131220 100 100 100 100 N = S/.200 000 El Ingreso promedio del sector obrero en una empresa es de 300 000 mensuales. En el mes en curso hay un Incremento de haberes del 10% del haber anterior más bonificación gene ral de 60 000 soles, pero se decreta un des cuento del 5% del haber actualizado, profondos de reconstrucción. Hallar el promedio actual. R eso luc ión : Ingreso actual: 300 000 1 o Se Incrementa e n : -------x 300 000 = 30 000 100 Por concepto de bonificaciones 60 000, en tonces, su haber actualizado es 390 000. Pero se descuenta: 5 100 x 390 000 = 19 500 Entonces recibe: 390 000 - 19 500 = 370 500 soles A r itm é tic a ¡ 3 5 4. Un mayorista vende un producto ganando el 20% del precio de fábrica. Un distribuidor reparte estos productos a las tiendas de co mercio ganando una comisión del 15% del precio por mayor. La tienda remata el artículo haciendo un descuento del 10% del precio de compra (del distribuidor). ¿En qué porcentaje se eleva el precio de fábrica del producto? R eso luc ión : Sea PF el precio de fábrica El mayorista vende en 120% PF al distribuir. El distribuidor vende en 115% (120%PF) a la tienda. El tendero lo remata en (pierde 10%) 90%[115%(120%PF)j Es decir; se vende en: 7?7ñx 7HRx W x P F = 124,2%PF 100 100 100 entonces, el PF se ha incrementado en 24,2%. 5. E! presidente de un club de basketball obser va que por partido, en promedio, un tercio de las entradas se quedan sin vender, pero afir ma que todas las entradas se venderían si se rebajase en un 30% el precio de la entrada. Suponiendo correctas las hipótesis del presi dente del club. ¿Qué sucederá? R eso luc ión : Sea 3N el total de entradas y P el precio de la entrada. 1.° vende; 2N; queda: N venta total: 2NP 2.° el nuevo precio es 70% P, entonces: venta total = (70%P)(3N) = 2,1 x NP La recaudación aumenta. 6 . Pedro tiene una casa que vale 100 000 soles y se la vende a Juan con una ganancia del 10%. Juan revende la casa a Pedro con una pérdida del 10%, siendo así: R eso luc ión : Costo de la casa: 100 000 soles Pedro vende ganando (10%) o sea en 110 000 Gana 10 000 Juan lo vende a Pedro, perdiendo 10% de su costo que es 110 000 . qo Luego lo vende en: x 110 000 = 99 000 M 100 Pedro gana 1000 soles más Ganancia total: S/.11 000 7. Un arquitecto ha previsto un recubrimiento de locetas circulares para una cierta pared. Si to das las locetas son ¡guales, ¿cuál es el máxi mo porcentaje de área de la pared que puede ser cubierto con dichas locetas? R eso luc ión : Gráficamente: a locetas Largo: L = (2R)b; ancho: A = (2R)a Área de la pared: L x A = 4R2ab Área de cada loceta: tiR2 Total de locetas: a x b Área cubierta por locetas: ab/iR2 Nos piden: ~ ^ -4 R 2ab = abitR2100 x = 78,5% Hallar la cantidad de onzas de agua que se necesita para rebajar al 30% el contenido de alcohol de un frasco de loción de afeitar de 9 onzas, que contiene 50% de alcohol. R eso luc ión : Si hay 9 onzas de 50% de alcohol, entonces tiene: alcohol = 4,5; agua = 4,5 Si aumentamos x onzas de agua, entonces, por dato: 30 1 0 0 ' 27 -(9 + x) = 4,5 3x = 45 x 9. Una persona pregunta en una tienda qué des cuento le pueden hacer sobre el precio de un repuesto, le responde que el 20%; va a otra 3 6 | C o lec c ió n El Po s tu la n te tienda y compra el mismo repuesto con un descuento del 25%; ahorrándose así S/.35. ¿Cuánto costaba el repuesto? R eso luc ión : Sea P el costo del repuesto En la 1.a tienda desct.: 20% En la 2.a tienda desct.: 25% Ahorro: 5% Al comprar en la segunda tienda ahorra: 5 100 x P = 35 P = S/.700 10 . Para la construcción de un edificio se compra ron ladrillos a S/.1200 el millar. Se inutilizan por diversas causas 3600 ladrillos equivalen tes al 0.1% del total comprado. ¿Cuánto se invirtió en la compra? R eso luc ión : Por dato del problema: 0,1 %T = 3600 T: total de ladrillos Entonces: 0,1 100 ' T = 3600 1000 : 3600 T = 3 600 000; que es equivalente a 3600 mi llares. Como costo/millar ladrillo = 1200 Costo total = 3600 x 1200 = S/.4 320 000 11. ¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol que de berá añadirse a 80 litros de alcohol de 96% de pureza, para obtener un hectolitro de alcohol de 90% de pureza? R eso luc ión : Recuérdese un hectolitro tiene 100 litros, en tonces para completar faltan solo 20 litros. Así: grado medio 80 x 96% + 20x% 100 = 90% 1 2 . 7680 + 20x = 9000 20x = 1320 « x = 66% ¿Qué cantidad de cobre debe añadirse a una barra de plata que pesa 635 g y tiene 0,920 de ley, para que resulte una aleación de 0,835 de ley? R eso luc ión : Cantidad 635 Ley 0,920 - \ r 0,835 Lm = 0,835 635 x 0 _ / Y_ 0,085 835 = 635 x 85 85 ^ 835 13. x = 64,64 kg Se hace una mezcla de vinos de S/.70 el litro y S/.60 el litro, con agua; la mezcla tiene un pre cio de S/.50. Se sabe que la cantidad de agua es los 2/5 de la cantidad de vino de S/.60. ¿En qué relación está la cantidad de vino de S/.70 a la cantidad de vino de S/.60? R eso luc ión : Consideremos: Vino (1): x L; de S/.70 y Vino (2): 5V L de S/.60 Agua: -|(5V ) = 2V de 0 soles Luego: 70x + 60(5V) + 0(2V) = é r t r 1 — = 5 0 70x + 300V = 50x + 350V 20x = 50V x 5V 10 20 0,50 14. A 215 litros de un vino que importa a S/,0,40 c/u, se añaden 5 litros de alcohol de a S/.2.50 el litro. En cuánto debe venderse el litro de la mezcla para ganar el 20% sobre el precio de compra. R eso luc ión : Tenemos: C, = 215 L P-, = 0,40 C2 = 5 L P2 = 2,50 2 1 5 x 0 ,4 0 + 5 x 2 ,5 0 98,50 220 : 220 197 440 A r itm é tic a | 3 7 Como gana el 20% sobre el Pm (que es. lo mis mo que Pc) D _ 1 20 ^ 1 97 Entonces. Pventa - 100 x 440 : S/. 0,537 15. Si 30 litros de una solución contienen 12 litros de alcohol, ¿cuántos litros de agua debemos agregar para obtener una solución al 25%? R eso luc ión : Si agregamos N de agua se obtiene: 12 O C O / 12 = 1 30 + N 4 ■ = 25% 3 0 + N 48 = 30 + N =5 N = 18 L 16. Un lingote contiene 5 kg de plata pura y 3 kg de cobre. ¿Qué cantidad de plata pura es pre ciso agregar a este lingote para fabricar mo nedas de plata de S/.5; cuya ley es 0,900? R eso luc ión : Tenemos: Ag = 5 kg J Ley = ^ = 0,625 Cu = 3 kg Luego: Cantidad (kg) P Leyes 1 0,275 Lm = 0,900 p 0,275 8 " 0,100 P = 22 kg 0 ,6 2 5 _ / V_ 0,100 2 7 5 x 8P = 100 [ " e jer c ic io s propuestos" | 1. Vendí un artículo ganando el 24% del costo. ¿Cuál es el costo, si lo vendí a $217? a) $165 d ) $175 b) $172 e ) $164 c) $170 ¿Qué número aumentado en 14% da como resultado 45,6? a) 42 b) 40 c) 36 d) 41 e) 38 3. ¿Qué porcentaje debo disminuir a 450 para obtener el 10%menos de 400? a) 20% b) 16% c) 18% d) 25% e) 15% 4. En una sesión de maestros se vio que el 65% trabaja en colegios nacionales, 220 en cole gios particulares y 2 0% en colegios particula res y nacionales. ¿Cuantos eran en total? a) 400 d) 700 b) 500 e) 800 c) 600 Al comprar un artículo me hacen dos des cuentos sucesivos de 12% y 2 0%, de manera que ahorro $74. ¿Cuál era el precio original del artículo? a) $200 d) $280 b) $240 e) $250 c) $320 Un futbolista ha hecho 30 goles en 75 par tidos. ¿Cuántos goles debe hacer en los 25 partidos siguientes para que su porcentaje de goles por partido aumente en 5%? a) 12 b) 15 c) 10 d) 16 e) 20 Indica si las siguientes afirmaciones son ver daderas (V) o falsas (F), respectivamente: I. a%(N) + b%(N) = (a + b)%(N) II. m%(N) - n%(N) = (m -n )% (N ) III. a (b% (N )) = (ab)%(N) abMNIV. a%(M) b%(N) = 10 000 c) VFVFa) V W F b) V V W d) VFFF e) VVFV Un terreno tiene 500 m2 de área. Vendo el 20% de dicho terreno y luego el 38% del res to. ¿Cuánto usaré para sembrar arroz, si para este fin utilizaré la mitad de lo que me queda? a ) 248 m2 d) 112 m2 b) 124 m2 e) 180 rn2 c) 62 m2 El precio de lista de un artículo es $600. Al comprarlo me descuentan el 18% y para ven derlo gano el 18%. ¿A cuánto lo vendí? a) $590,25 d) $585,0 b) $600,00 e) $575,6 c) $580,56 10. En un vaso preparo ron con gaseosa y limón, El 25% de la mezcla es ron y el 80% del vaso contiene líquido. ¿Qué porcentaje del vaso es limón, si este representa el 10% del ron? a) 2% b) 1 % c) 0,5% d) 1,5% e) 2,5% 11. ¿En cuánto excede el a% de b/3 al b% de a/4, si ab = 36 000? a) 30 b) 300 c) 900 d) 1000 e) 3000 12. Un comerciante decide vender un artículo, ga nando el 10%. Un cliente acude a comprar y solicita un rebaja de 10%. Si el comerciante le hace la rebaja solicitada, con lo cual pierde S/:200. ¿A cuánto se vendió el artículo? a) S/.20 000 b) S/.19 800 c)S/.19 000 d) S/.19 700 e) S/.18 900 13. Al dictar mi clase de matemáticas, en la piza rra dejo libre a cada extremo el 5% del largo y el 4% del ancho. ¿Qué área efectiva de la pizarra uso? a) 78,6% b) 80,4% c) 81,2% d) 82,8% e) 84% 14. Un depósito está lleno totalmente. Si se ex traen 256 litros, su volumen disminuye en 80%. ¿Cuál es el volumen total? a) 480 L b) 250 L c) 300 L d) 350 L e) 320 L 15. La edad de Miguel aumentada en su 75% es igual a 63 años. ¿Cuál era su edad hace 7 años? a ) 36 años b) 31 años c) 29 años d) 30 años e) 28 años 16. En una granja de aves, el 40% es de gallinas. Si se ha vendido el 20% de gallinas, ¿en qué porcentaje ha disminuido el número de aves? a) 10% b) 6% c) 8% d) 12% e) 7% 17. Un número aumenta sucesivamente en 20%, 25% y 40%. ¿En qué fracción debe disminuir para regresar a su valor original? 3 8 ¡ C o lec c ió n El Po s tu la n te ------------------------------------- a) 11/10 b) 1/11 c) 11/21 d) 1/10 E) 7/11 18. Si el largo de un terreno se acorta en 40%, y el ancho se Incrementa en 40%, ¿en qué porcentaje varía su área? a) Aumenta en 12% b) Disminuye en 12% c) Aumenta en 16% d) Disminuye en 16% • e) No varía 19. En un país la producción aumenta el 10% anual. Si en el año 1998 la producción era de 18 000 unidades, ¿cuál será le producción en el año 2001? a) 20 362 u b) 18 268 u c) 24 398 u d) 23 958 u e) 26 718 u 20. La dirección ha comprado dos tipos de tizas en iguales cantidades. Los profesores usan en clases 80% de un tipo y 75% del otro tipo. ¿Qué porcentaje de la cantidad total se quedó sin usar? a) 45% b) 22,5% c) 15% d) 30% e) 67,5% 21. Se compran dos latas iguales de leche para el desayuno. SI de la primera se consume el 25% y de la segunda se consume el 50%, ¿Qué porcentaje del total de la leche compra da queda sin consumir? a) 75% b) 25% c) 62,5% d) 37,5% e) 32,5% 22. En un aula el 63% del total de alumnos es de letras, el 2 % es de arquitectura y el resto es de ciencias. Si de los alumnos de ciencias, el 80% son varones, ¿qué porcentaje del total son mujeres que estudian ciencias? a) 7 b) 14 c) 21 d) 28 e) 35 23. De una cierta cantidad de dinero que tenía, me robaron el 12%. Si de lo que me quedaba presté el 25%, ¿Qué porcentaje del total de dinero que tenía antes del robo me quedará? A r itm é tic a | 3 9 a) 55% b) 66% c) 88% d) 62% e) 75% 24. Se sabe que al extraer 40 litros de un depósito que estaba lleno hasta el 60%, queda reduci do al 50% de su capacidad. ¿Cuál es la capa cidad del depósito? a) 260 L b) 400 L c )1 6 0 L d) 100 L e) 200 L 25. SI se calcula el 75% de la suma de 1/4 de 256 con el 60% de los 2/3 de 400, resulta: a) 172 b) 168 c) 206 d ) 186 e) 602 26. Si al vender un articulo se gana el 50% del costo, ¿qué porcentaje del precio de venta se debe rebajar para ganar 25% del costo? a) 25% b) 20% c) 30% d) T % e) 27. El costo de vida de un país sube cada mes en un 20%. Si en enero gastaba una cantidad a para vivir, ¿cuánto gastaré en agosto para vivir de la misma forma? a) (0 ,2a )7 b) (1 ,2 )7a c ) ( 1 ,2 )6a d) a + (0 ,2)7 e) (0 ,2)7 a 28. En un país el 35% d e ja población se encuen tra en la capital. En la capital el 6% de las per sonas son analfabetos y en el interior el 24% de la población son analfabetos. Hallar qué porcentaje son los analfabetos con respecto al total. a) 16% b) 17,7% c) 15,6% d) 19.2% e) 15,8% 29. Compro un articulo en 240 soles y lo vendo a 312 soles. ¿ qué porcentaje del costo gané? a) 20% b) 24% c) 30% d) 33% e) 33,3% 30. Un vendedor logra colocar los 3/4 de su mercadería en clientes fijos y un 1/8 en clientes eventuales. ¿Qué porcentaje de su mercadería aún no ha colocado? a) 8% b) 10% c) 12,5% d) 15% e) 16% tn w 1 . d 7. b 13. d 19. d 25. b 2 . b -Q00 14. e 2 0 . b 26. e > 3. a 9. c 15. c 2 1 . c 27. b < 4. a 1 0 . a 16. c 2 2 . a 28. b ü 5. e 11 . a 17. c 23. b 29. c 6. b 12 . b 18. d 24. b 30. c INTERÉS - DESCUENTO REGLA DE INTERES Identificación de los elementos • Capital de préstamo (C). Llamado común mente capital, es la cantidad de dinero que su poseedor va a acceder en forma de préstamo para obtener ganancias. Tiempo (t). Es el periodo durante el cual va a ceder o imponer un capital. Para calcular el interés se considera generalmente: 1 mes comercial tiene 30 días 1 año comercial tiene 360 días 1 año común tiene 365 días 1 año bisiesto tiene 366 días Interés (I). Es ia ganancia o beneficio que produce el capital de préstamo, durante cierto tiempo. Tasa de interés (r%) o rédito. Es la ganancia que se obtiene por cada 100 unidades mone tarias en una unidad de tiempo. Por ello se ex presa generalmente como un tanto por ciento. i Ejemplo: • 5% mensual, significa que por cada mes se gana el 5% del capital prestado. • 2 1% trimestral, significa que por cada tres meses se gana el 2 1% del capital. • Cuando no se indique la unidad de tiem po referida a la tasa, se asumirá una tasa anual. Tasas equivalentes 4% bimestral 6% trimestral 8% cuatrimestral 12% semestral 24% anual % diario 30 Monto (M). Es ia suma recibida al final del pe ríodo y es igual al capital más el interés que genera el mismo. r% = 2% mensual O [M = C + 11 Clases de interés Interés simple. Es cuando el interés o ganan cia que genera el capital de préstamo no se acumula al capital. Con otro ejemplo práctico podemos observar un caso de interés simple y al mismo tiempo deducir una relación entre los elementos que intervienen. Ejemplo: Se depositó en un banco S/.4000 durante 3 años siendo la tasa anual de 10%. ¿Cuánto será el interés ganado y el monto obtenido? R eso luc ión : C = S/.4000 t = 3 años r% = 10% anual Cada año se gana: 10%(4000) = S/.400 Esquema S/.4000 Interés: S/.400 S/.400 S/.400 Luego al final de los 3 años se tiene: Interés = 400 + 400 + 400 Interés = 3[10%(4000)j = S/.1200 En general: Interés = Tiempo x Tasa x Capital No debemos olvidar que el análisis se hizo año por año, porque el interés se prestó con una tasa anual, lo cual nos da una idea que
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