AI Parte F

Vista previa del material en texto

AERODINÁMICA I F-1
EJERCICIO F01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración fluida bidimensional 
esquematizada en la figura formada por dos placas 
planas, ambas de cuerda c, separadas entre sí una 
distancia c/2, volando en régimen supersónico 
(M∞ > 1) con ángulo de ataque α << 1. Dentro de 
la validez de la teoría potencial linealizada de 
perfiles en régimen supersónico calcule el valor 
del coeficiente de sustentación y el del coeficiente 
de resistencia aerodinámica, cl(M∞) y cd(M∞) respectivamente, 
correspondientes a la placa plana cuyo esqueleto está en Z = 0. 
Suponga M∞ > 2 . 
 
Solución 
De acuerdo con la geometría del problema, cuando 1 ≤ β ≤ 2, con 
2M 1β ∞= − , las características que parten del borde de ataque de cualquiera de las placas se 
reflejan en la otra, mientras que para β > 2 no hay interferencia entre placas. En este último caso es 
cl = 4α/β, y cd = 4α2/β. Cuando hay interferencias, la soluciones en la zonas 1 y 2 son inmediatas: 
cp1 = 2α/β, y cp2 = −2α/β; para resolver la zona 3 basta con saber que a esta zona llegan las 
características de la zona 4, y como estas características que llegan de 4 ya cumplen la condición de 
contorno en 3 (la misma que en 4), no hará falta considerar características reflejadas (son nulas) y el 
coeficiente de presión en 3 es el mismo que en 4, que a su vez es idéntico al de la zona 1, es decir 
cp3 = cp4 = cp1 = 2α/β. Por tanto, como la característica reflejada incide en xo = Xo/c = ½(−1+β), será 
cl(x) = 4α/β, en −½ ≤ x ≤ xo, y cl(x) = 0, en xo, ≤ x ≤ 1, de modo que, en este rango de valores de β, 
el coeficiente de sustentación global vale cl = 2α y el coeficiente de resistencia cd = 2α2. 
 
EJERCICIO F02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un perfil de cuerda c m, de intradós plano y extradós parabólico, cuyo espesor relativo máximo, 
δ <<1, se alcanza en el punto medio de la cuerda, está articulado en el borde de ataque a un punto 
fijo. Sabiendo que la masa del perfil es m kg/m, que la densidad del perfil es uniforme, y supuesto 
que el perfil está en el seno de una corriente incidente supersónica de intensidad M∞ = 3.0, 
determine, dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen supersónico, 
el ángulo de ataque de equilibrio. 
 
Solución 
Tomando, por ejemplo, el origen de coordenadas en el borde de ataque del perfil, la ecuación de la 
línea de curvatura, en variables adimensionalizadas con la cuerda, es C(x) = 2δx(1 – x). La 
distribución de coeficiente de sustentación a lo largo de la cuerda es por tanto 4 d( )
dl
Cc x
x
α
β
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
es decir ( )4( ) 2 4lc x xα δ δβ= − + , y el coeficiente de momento respecto al borde de ataque 
1
0
4 1 1( ) d
2 3mba l
c c x x x α δ
β
⎛ ⎞= = +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ , con 2 2β = . Este coeficiente de momento ha de compensar el 
coeficiente de momento debido al peso del perfil: 
1
2
2 21
2
mg
cmg
c
U cρ ∞
= , de donde se obtiene el valor del 
2 3 
1 
4 
M∞ 
c/2 
c/2 −c/2 X 
Z 
AERODINÁMICA I F-2
ángulo de ataque 2 12
2 3mg
cα δ
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
 
EJERCICIO F03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Se pretende ensayar un perfil de ala de cuerda c = 0,5 m en un túnel aerodinámico criogénico 
presurizado (régimen supersónico). Sabiendo que el perfil estará situado cerca del suelo de la 
cámara de ensayos del túnel y que la velocidad de ensayo es de 420 m/s, dentro de la validez de la 
teoría potencial linealizada correspondiente, determine la altura mínima del perfil sobre el suelo de 
la cámara para que no existan interferencias entre túnel y perfil. Las propiedades y magnitudes que 
caracterizan el fluido de trabajo son: 
 
Relación de calores específicos, γ = 1,4 Temperatura, T = 225 K 
Constante del gas, R = 280 J·kg−1·K−1 Viscosidad cinemática, ν = 2×10−5 m2·s−1
Densidad, ρ = 2 kg·m−3 
 
Solución 
La altura h ha de ser 
2
ch
β
≥ , con 2M 1β ∞= − , y 
2 2
2
2M
U U
TRa γ
∞ ∞
∞
∞
= = , haciendo aplicación de los 
datos numéricos resulta h ≥ c/2 si T = 225 K. 
 
EJERCICIO F04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración bidimensional 
formada por una placa plana de cuerda c 
situada en un túnel supersónico de altura 2c, 
tal como se indica en la figura. La placa está 
articulada en el borde de ataque a un punto 
fijo ligado al túnel. Si el peso de la placa por 
unidad de longitud perpendicular al papel es 
W N/m determine, en función del número de 
Mach de la corriente, M∞, el valor del ángulo 
de ataque de equilibrio. Suponga M 17 4 1,03∞ ≥ ≈ . 
 
Solución 
En el intervalo ¼ ≤ β ≤ ½ las características reflejadas en las paredes 
del túnel inciden sobre el perfil, y para β > ½ la configuración en el 
perfil es idéntica a la de un perfil volando aislado (cl = 4α/β). En el 
caso ¼ ≤ β ≤ ½ se tiene: en la zona 1 es 1
2
pc
α
β
= − , 
( )1
U x zαϕ β
β
∞= − , por tanto, en la zona 2 es 
( ) ( )2 2
U x z G x zαϕ β β
β
∞= − + + , y de la condición de contorno en el 
techo del túnel (ϕ2z = 0) se obtiene 2 0
dGU
d
α β
η∞
− + = , de donde resulta 
( ) ( )2
UG x z x zαβ β
β
∞+ = + . De igual modo, en la zona 3 se tiene 
6 
1 
2 
3 
4 
5 
c 
c 
c 
M∞ 
AERODINÁMICA I F-3
( ) ( )3 2
UG x z x zαϕ β β
β
∞= − + + , y de la condición de contorno en el perfil (ϕ3z = −αU∞) se obtiene 
3dFU U
d
α β α
ξ∞ ∞
− = − , y así, ( ) ( )3
2UF x z x zαβ β
β
∞− = − ; el potencial ϕ3 es pues 
( ) ( )3
2U Ux z x zα αϕ β β
β β
∞ ∞= − + + , y el coeficiente de presión cp3 = −6α/β. Procediendo de forma 
análoga en el intradós se tiene cp4 = 4α/β y cp6 = 6α/β, de forma que la distribución de sustentación 
vale cl = 4α/β en el intervalo 0 ≤ x/c ≤ 2β, y cl = 12α/β en 2β ≤ x/c ≤ 1. 
El coeficiente de momento respecto al borde de ataque es ( )268 1 4mbac ααβ ββ= + − = 
32 8α β
β
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
de modo que, igualando con el momento producido por el peso del perfil: 
2 2 21 3 1M 2 8
2 2
a c cWρ α β
β∞ ∞
⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
, se obtiene el valor del ángulo de ataque de equilibrio: 
 
( ) ( )
2
2 22 2 2 2
M 1
2 23 8 M 11 8M M
W W
a c a c
βα
ρ ρβ
∞
∞ ∞∞ ∞ ∞
−
= =
− −
, para 217 5M
16 4∞
≤ ≤ , y 
 
2
2 2
M 1
2 M
W
a c
α
ρ
∞
∞ ∞
−
= , para 2 5M
4∞
≥ . 
 
EJERCICIO F05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración bidimensional formada por un perfil de cuerda c situada en una 
corriente supersónica (M∞>1). El perfil, tal como se indica en la figura, es de intradós plano, y su 
extradós está formado por dos segmentos rectilíneos que se unen en el punto X0 (c/4<X0<3c/4); 
además, el perfil está articulado en el borde de ataque a un punto fijo. Suponiendo que el perfil es 
macizo, y que está hecho con un material con peso específico uniforme de valor k N/m3, determine, 
en función del número de Mach de la corriente, M∞, el valor del ángulo de ataque de equilibrio. 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Llamando z = Z/c, x = X/c y x0 = X0/c, las ecuaciones de la línea de curvatura del perfil son: 
 
02
xz
x
ε
= , para 0 ≤ x ≤ x0, y 
 
0
1
2 1
xz
x
ε −
=
−
 para x0 ≤ x ≤ 1. 
El coeficiente de sustentación local en cada uno de estos tramos vale 
0
2 1
lc x
ε
β
= − , para 0 ≤ x ≤ x0, 
y 
0
2 1
1l
c
x
ε
β
=
−
 para x0 ≤ x ≤ 1, de modo que el coeficiente de momento respecto al borde de 
0 X0 c X 
Z 
εc, ε <<1 U∞ 
AERODINÁMICA I F-4
ataque, teniendo en cuenta el ángulo de ataque, vale 00 0
12 2 2
2mba
xc x xα ε ε α ε
β β β β
− +⎛ ⎞− = − + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
Por otro lado, el momento debido al peso es 
 ( ) ( )
0
0
1
3 2 3
0
0 00
1 1 11 1
1 6
x
x
M c k x dx x xdx c k x
x x
ε ε
⎡ ⎤
⎢ ⎥= + − = +
⎢ ⎥−
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ , 
de modo que, estableciendo el equilibrio de momentos: 
 ( )2 2 2 3 0
1 2 1M 1
2 6
a c c k xα ερ ε
β∞ ∞
+
= + , 
se obtiene 
 ( ) ( )
2
0 0
2 2 2 2
1 1 M 1
1 1
2 23 M 3 M
ck x ck x
a a
ε β εα
ρ ρ
∞
∞ ∞ ∞ ∞
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
EJERCICIO F06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Considere un perfil de intradós plano y extradós parabólico (cuya forma viene dada por la 
expresión zex = εc[1−(2x/c)2], −c/2 ≤ x ≤ c/2, ε<<1) volando con ángulo de ataque α<<1 en régimen 
supersónico (M∞ = 2 ). Calcule el coeficiente de momento respecto al punto medio del perfil en el 
caso c = 2 m, ε = 0,03, α = 0,02 radianes. 
 
Solución 
Sea x=x/c y z=z/c; en variables adimensionales la línea de curvatura del perfil, la única que 
contribuye al momento pedido, es zc = ½ε(1−4x2), de modo que 
d4 16( )
d
c
l
z xc x
x
ε
β β
= − = . 
El coeficiente de momento pedido, tomando β = 1, es: 
1 2
2
0
-1 2
416 d
3m
c x x εε= − = −∫ . 
EJERCICIO F07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil de cuerda c = 1,5 m, de 
intradós plano y cuyo extradós está formado por 
dos rectas que se unen en el punto medio del 
perfil, tal como se indica en la figura. Si el perfil 
se desplaza a través del aire en calma en régimen 
supersónico, con ángulo de ataque nulo y 
velocidad U∞ = 500 m·s−1 (suponga M∞ = 21/2 y 
ρ∞ = 1 kg·m−3), determine el valor del parámetro 
ε para que la resistencia de onda del perfil sea 
d = 2400 N.m−1. 
 
Solución 
Como (dzext/dx)2 = 4ε2 sea x positivo o negativo (−c/2 ≤ x ≤ c/2), el coeficiente de resistencia del 
perfil vale 
c/2 2 2
2
-c/2
d2 8d1 d
2
ext
d
zd xc
x cU c
ε
β βρ ∞
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ , de modo que 
1
2
d
U c
βε
ρ∞
= . 
 
 
 
x 
z 
−c/2 
εc 
c/2 
U∞ 
AERODINÁMICA I F-5
EJERCICIO F08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una pareja de perfiles iguales situados en una 
corriente supersónica (M∞ = 51/2) sometidos a la acción de la 
gravedad y sujetos en el borde de ataque a un soporte por medio 
de sendas articulaciones sin fricción. Los perfiles son macizos y 
están limitados por una superficie plana y otra parabólica, cuyo 
espesor máximo es de 0,005 m y está situado en el punto medio 
de la cuerda, de valor c = 0,1 m. Ambos perfiles están unidos por 
medio de una barra de longitud c articulada en sus extremos a los 
bordes de salida, de forma que las cuerdas de ambos perfiles se 
mantienen paralelas en todo instante. Sabiendo que la masa por 
unidad de envergadura de cada perfil es de 1 kg/m, y que la 
densidad del material es uniforme, y sabiendo también que la densidad del fluido es 0,01 kg/m3 y la 
velocidad del sonido 200 m/s, calcule el ángulo de ataque α que determina la posición de equilibrio. 
 
Solución 
Las fuerzas aerodinámicas sobre cada uno de los perfiles, A y B, se concentran en una resultante, la 
sustentación (situada en el centro aerodinámico), y el momento respecto al centro aerodinámico. El 
equilibrio de momentos del conjunto respecto a cualquiera de los dos apoyos da 
2 0
2 2 2ca A ca BA B
c c cM L M L mg− + − + = . Como ca caA BM M= − y 
21 4
2A B
L L U c αρ
β∞
⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, se 
obtiene 2 22
mg
M a c
βα
ρ ∞ ∞
= . 
 
EJERCICIO F09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil de cuerda c, de intradós plano y 
extradós formado por dos planos que se unen en el punto 
medio del perfil, como se indica en la figura, volando en 
régimen supersónico (M∞ > 1) con ángulo de ataque α a 
través del aire en calma. Calcule la posición del centro 
de presiones del perfil. 
 
Solución 
 Separando en el problema los efectos de espesor (que no produce cargas), curvatura y ángulo de 
ataque, se tiene que la línea de curvatura es un segmento recto de pendiente ε en la parte delantera 
del perfil (−c/2 ≤ x ≤ 0), y otro segmento, ahora de pendiente −ε, en la trasera (0 ≤ x ≤ c/2), las 
distribuciones de cargas aerodinámicas adimensionales debidas a ángulo de ataque y curvatura a lo 
largo de la cuerda son pues como se indica en la figura (a), y las resultantes de tales distribuciones, 
adimensionalizadas con la cuerda c, son como se indica en la figura (b). El centro de presiones xcp 
es el punto donde está la resultante de todas las cargas, es decir: 
4 2 2 0
4 4cp cp cp
c cx x xα ε ε
β β β
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, de donde se obtiene 
4cp
cx ε
α
= . 
 
 
 
 
 
 
 
U∞ 
c 
c 
α 
α 
g 
A 
B 
−c/2 c/2 εc, ε << 1 
U∞ 
z 
x α 
2ε/β 
4α/β 
−2ε/β 
xcp 
4ε/β 
−4ε/β 
4α/β (a) 
(b) 
AERODINÁMICA I F-6
EJERCICIO F10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un perfil (cuya masa se supone despreciable) formado por dos placas planas rígidamente unidas 
formando un ángulo δ, está situado en el seno de un flujo supersónico de densidad ρ con número de 
Mach M∞ = 2 . El perfil permanece sujeto mediante una articulación situada en el borde de 
ataque. Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen supersónico, 
determine el ángulo α de equilibrio. 
 
Solución 
2 21 4 1 1 4 1 3( ) 0
2 2 4 2 4A
M U c αρ α δ
β β∞
⎡ ⎤
= + + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
 
3
4
α δ= − 
 
 
EJERCICIO F11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil sin masa ni espesor con forma de teja, de cuerda c = 2 m, situado en el seno 
de una corriente supersónica de velocidad U∞ = 200 m/s, densidad ρ∞ = 0.1 kg/m3, y número de 
Mach M∞ = √5. El perfil está sujeto a un soporte por medio de una articulación, habiendo además 
un muelle de torsión de constante elástica K = 10π N/radian por unidad de envergadura que se 
opone a su giro. En la hipótesis de que ni articulación ni muelle perturban el flujo, dentro de la 
validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen supersónico, determine el ángulo de 
equilibrio del perfil, θ. En ausencia de fuerzas aerodinámicas dicho ángulo vale θ0 = 0º. 
 
 
 
 
Solución 
Se tiene β= 2 y δ = 1º = π/180 radianes. El ángulo de ataque no interviene en la ecuación de 
equilibrio, y como las distribuciones de presión son constantes en cada lado del perfil: 
4 2
4 2
c cq Kδ θ
β
= , de donde se obtiene 
2 2
21 1
2 180
c cq U
K K
δ δθ ρ
β β
= = = radianes 
 
 
 
x 
z 
c c/2 
α 
δ 
U∞ 
θ δ = 1º 
δ = 1º U∞, ρ∞