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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Primer Semestre 2006 MAT1503 ∗ GUIA N◦3 I. Demuestre por inducción que: 1. La suma de los ángulos interiores de un poĺıgono convexo de n lados es (n− 2) · 180◦, ∀n ≥ 3. 2. Los números de la forma: (a) 32n − 1 son divisibles por 8, ∀n = 1, 2, . . . (b) 22n+1 − 9n2 + 3n− 2 son divisibles por 54, ∀n = 1, 2, . . . 3. Al intentar demostrar las siguientes proposiciones por inducción el método fallaŕıa en una de sus partes. Señale dónde se produciŕıa la falla y por qué: (a) ∀n ∈ N : 4 + 8 + 12 + · · ·+ 4n = 3n2 − n + 2 (b) ∀n ∈ N : 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n2 + n + 2 (c) ∀n ∈ N la fórmula p(n) = n2 − n + 41 proporciona sólo números primos. 4. Pruebe que ∀n ∈ N (a) 6 divide a 5n3 + 7n (b) 16 divide a 834n − 2 · 972n + 1. 5. Pruebe que ∀n ∈ N, a− b es un factor de an − bn 6. Pruebe las siguientes propiedades de los números de Fibonacci definidos por: a0 = 1, a1 = 1, an+2 = an + an−1 ; n = 0, 1, 2, . . . (a) an+1 · an−1 − a2n = (−1)n+1 (b) an+m = an · an+1 + am−1 · an (c) an y an+1 son primos relativos. 1 (d) an < ( 1 + √ 5 2 )n . 7. Si n > 2 pruebe que: 3 2 − 1 n + 1 n2 < 1 12 + 1 22 + · · · + 1 n2 < 2 − 1 n . 8. Conjeture fórmulas para las siguientes expresiones y pruébelas por in- ducción: (a) (1− x) (1 + x) (1 + x2) (1 + x22) · · · (1 + x2n) (b) (1− 1 2 ) (1− 1 3 ) (1− 1 4 ) · · · (1− 1 n+1 ) (c) 12 − 22 + 32 − · · · + (−1)n−1n2 (d) n2 − (n− 1)2 + (n− 2)2 − · · · + (−1)n−1 9. Se define u1 = 0 y un+1 = (1 + x)un − nx si n = 1, 2, 3 . . . Pruebe que un = 1 x [1 + nx− (1 + x)n]. 10. Pruebe que si k es un entero fijo cualquiera entonces, ∀n ∈ N n(n + 1)(n + 2) . . . (n + k − 1) es divisible por k. 11. Pruebe que 8 3 · 5 − 12 5 · 7 + 16 7 · 9 − · · ·︸ ︷︷ ︸ n sumandos = 1 3 + (−1)n−1 1 2n + 3 . 12. a) n∑ k=1 1 4k2 − 1 = n 2n + 1 b) n∑ k=1 (k2 + 1)k! = n(n + 1)! c) n∑ k=1 k · 2k (k + 2)! = 1− 2 n+1 (n + 2)! d) n∑ k=1 k = n(n + 1) 2 e) n∑ k=1 k2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 f) n∑ k=1 k3 = [ n(n + 1) 2 ]2 2 II. Sumatorias y Progresiones. 1. Escriba usando el śımbolo ∑ : a) 1 + q + q2 + · · ·+ qn b) 1− 2 + 3− 4 + 5− . . . (n términos) c) 4 + 18 + 48 + 100 + 180 d) 1 + 9 + 125 + 2401 + . . . (2n términos) e) 1 + 8 + 27 + 64(n− 1 términos) f) 3 + 9 + 27 + 71 + . . .(10 términos) 2. Calcular: a) 12 + 32 + 52 + · · ·+ 992 b) 213 + 223 + · · ·+ 503 c) 22 + 42 + 62 + · · ·+ (4n)2 d) 1 · 11 + 2 · 12 + 3 · 13 + · · ·+(n términos) e) 1 · 2 · 4 + 2 · 3 · 5 + 3 · 4 · 6 + · · · (2n términos) 3. Calcular: a) n∑ i=1 i(i + 3) b) n∑ i=1 i(i2 − 1) c) p∑ i=1 (i + 1)3 d) n∑ i=1 (n− i)(i− 1) e) n∑ k=1 (3k2 − k) f) n∑ k=1 (3n2 − n) g) n∑ k=1 k3 + 3 2 k h) n∑ k=1 k2(2k + 3) i) n∑ k=1 4k(k2 + 1)− (6k2 + 1) j) n∑ k=1 n2(2n + 3) 4. Calcular: a) n∑ k=1 1 k(k + 1) b) n∑ k=1 1 4k2 − 1 c) n∑ k=1 1 (2k − 2)(2k + 10) d) n∑ k=1 4 k(k + 1)(k + 2) e) n∑ i=1 1 (2i− 1)(2i + 1)(2i + 3) f) n∑ i=1 1 (3i− 2)(3i + 1) 3 g) n∑ k=1 k2 + k − 1 (1 + k)2(k + 2)2 h) n∑ i=1 2i + 1 i2(i + 1)2 i) n∑ k=2 k2 k2 − 1 j) n∑ k=1 k3 + k2 + 1 k(k + 1) 5. Calcular: a) 43∑ k=2 k(k − 2) b) 50∑ k=1 (−1)kk2 c) n∑ k=1 k(10 + k) d) n∑ k=1 1 (2k − 1)(2k + 1) 6. Aplicando n∑ k=1 a ambos lados de la identidad (k + 1)2 − k2 = 2k + 1 Calcular n∑ k=1 k 7. Aplicando la misma técnica del ejercicio anterior a la identidad (k + 1)3 − k3 = 3k2 + 3k + 1 calcular n∑ k=1 k2. 8. Demostrar que: 2n∑ k=1 (−1)k k2 = n∑ k=1 (4k − 1) 9. Encuentre una fórmula para: n∑ k=1 k · 2k 10. Determine el término de orden n y la suma de los 30 primeros términos de la progresión aritmética 3, 4 + 1 2 , 6, . . . 11. En una progresión aritmética el primer término es 4 y el orden de n, es 34. Si la suma de sus k primeros términos es 247, determine k y la diferencia d. 12. ¿Cuántos términos de la progresión aritmética 3, 7, 11 . . . necesita sumar para que su suma sea 1.275? 4 13. Si en una progresión geométrica u1 = 4, uk = 30 + 3 8 y k∑ n=1 un = 83 + 1 8 , determine k y la razón q de la progresión. 14. Determine una progresión aritmética tal que la suma de sus n primeros términos sea 2n2 + 3n. 15. Si los términos de lugares p, q, r de una P.G. son a, b y c respectiva- mente, demuestre que: aq−r · br−p · cp−q = 1. 16. Calcular la suma de n términos de: 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + · · · 17. Calcular la suma de: 4 · 7 + 7 · 12 + 10 · 17 + · · · + 157 · 262. 18. Encuentre la suma de n términos de a, (a + d)r2, (a + 3d)r3, . . . 19. Sume: (a) 2n términos de: 5 ·+3 · 6 + 4 · 7 + · · · (b) n términos de: n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) + (n + 2)(n + 3) + · · · (c) 2n términos de: 12 + 23 + 32 + 43 + 52 + 63 + · · · (d) 2n términos de: 1− 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + · · · (e) (2n− 1) términos de: 1− 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + · · · 20. Calcule la suma de los n primeros paréntesis de la expresión: 1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + · · · 21. Calcule: a) i=n∑ i=1 j=20∑ j=1 2j−i b) i=100∑ i=1 j=25∑ j=1 (i2 · j) c) k=n∑ k=2 i=m∑ i=1 (2a) d) j=10∑ j=1 k=n∑ k=1 2(j · k + j) e) j=n∑ j=1 i=j∑ i=1 ai+j f) j=100∑ j=0 k=3∑ k=0 jk 5 III Teorema del Binomio 1. Simplifique y calcule: a) 7! 5! b) 12! 14! c) ( 8 5 ) d) ( 8 3 ) e) ( 6 0 ) + ( 6 1 ) + ( 6 2 ) + ( 6 3 ) + ( 6 4 ) f) ( 19 17 ) + ( 19 18 ) 2. Simplifique las expresiones: a) (n + 2)! n! b) n!− (n− 1)! (n− 1)! c) ( 4n 3n )( 3n 2n )( 2n n ) d) ( n + 1 3 ) ( n 2 ) e) ( n + 1 r + 1 ) ( n r ) 3. Calcule el valor del número natural n tal que: a) ( n 2 ) = 55 b) ( n n− 2 ) = 10 c) ( n 3 ) = ( n 5 ) 4. Demuestre que: a) (2n) n! = 2n[1 · · · 3 · · · (2n− 1)] b) ( n k − 1 ) + 2 ( n k ) + ( n k + 1 ) = ( n + 2 k + 1 ) 5. Desarrolle: a) (3x + 2y)6 b) (1− x)7 c) ( 3 √ x + 1 x )6 d) ( x2 − 1 x )5 6. Encuentre los coeficientes de los términos indicados en los desarrollos correspondientes: a) x11 en (3x + 2x2)9 b) x9 en ( 2x− 3 x )13 c) x2 en ( 3 √ x− 2 x2 )27 d) x2r en (1− x2)4r 6 7. Encuentre los términos centrales en los desarrollos de a) ( 3a− a 3 6 )10 b) ( 4x 5 − 5 2x )15 c) (√ x− a +√a− x)24 8. Encuentre el término independiente de x en el desarrollo de a) ( 3 2 x2 − 1 3x )9 b) ( x− 1 x2 )3n 9. Calcule el valor numérico del término independiente de x en el desar- rollo de ( 3x65 + 2 ) ( x− 1 x2 )40 10. Calcule el coeficiente de x−2 en el desarrollo de x2 ( x2 − 2 x2 )28 11. Calcule el coeficiente de x25 en el desarrollo de ( 1 + 1 x2 + 1 x4 ) ( 1 + x2 )50 12. Si xr se encuentra en el desarrollo de ( x + 1 x )n , halle su coeficiente. 13. Encuentre el coeficiente de xn en el desarrollo de ( x2 + 1 x )2n 14. Determine el coeficiente de 1 x en el desarrollo de (1 + x)n ( 1 + 1 x )n 15. Encuentre el coeficiente de xn en el desarrollo de x3 ( 4x2 − 1 2x )2n 7 16. El segundo, tercer y cuarto término en el desarrollo de (x + y)n son 240, 720 y 1080, respectivamente. Calcule x, y, n. 17. Demuestre que el coeficiente del término central del desarrollo de (1 + x)2n es igual a la suma de los coeficientes de los términos centrales del desarrollo de (1 + x)2n−1 18. Determine el valor de k para que los coeficientes de xk y xk+1 en el desarrollo de (3x + 2)19 sean iguales. 19. Determine el valor de a para que los coeficientes de x7 y x6 en el desarrollo de (x + a)5(x− 2a)3 sean iguales. 20. Calcule la suma y el producto de ( 2 + √ 3 )7 con ( 2− √ 3 )7 21. Determine el valor de a de manera que la suma de los coeficientes de los términos centrales sea igual al término independiente de x en el desarrollo de: ( x− a x2 )9 22. Si (1+x2)2(1+x)n = a0+a1x+a2x 2+a3x 3+· · · y si a0, a1, a2 están en progresión aritmética, determine los posibles valores del número natural n. 23. Demuestre que: a) ( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) + ( n 3 )+ · · ·+ ( n n ) = 2n b) ( n 1 ) + 2 ( n 2 ) + 3 ( n 3 ) + · · ·+ n ( n n ) = n · 2n−1 24. Demuestre que: a) n+1∑ k=2 ( k 2 ) = ( n + 2 3 ) b) n∑ k=0 ( n k ) = ( 2n n ) 8 25. Demuestre que: a) ( n 0 ) + 1 2 ( n 1 ) + 1 3 ( n 2 ) + · · · + 1 n + 1 ( n n ) = 1 n + 1 ( 2n+1 − 1) b) 1 ( n 1 )2 + 2 ( n 2 )2 + 3 ( n 3 )2 + · · · + n ( n n )2 = n ( 2n− 1 n ) 26. Calcule la suma de los n primeros términos de − ( n 0 ) + ( n 1 ) + 3 ( n 2 ) + 5 ( n 3 ) + · · · 27. Demuestre que si n es natural mayor que 1 ( n 1 ) + 3 ( n 3 ) + 5 ( n 5 ) + · · · = 2 ( n 2 ) + 4 ( n 4 ) + · · · = n · 2n−2 28. Demuestre que si n es número natural, entonces (1 + √ 3)2n+1 + (1− √ 3)2n+1 es natural. 29. A partir de la identidad (1 + x)m · (1 + x)n = (1 + x)m+n , calcule el valor de ( m r )( n 0 ) + ( m r − 1 )( n 1 ) + ( m r − 2 )( n 2 ) + · · · + ( m 0 )( n r ) . 30. Determine el coeficiente de xn en el desarrollo de [1 + (n + 1)x] [ 1 + (1 + x)2n−1 ] y de alĺı demuestre que: ( n 0 )2 + 2 ( n 1 )2 + 3 ( n 2 )2 + · · · + (n + 1) ( n n )2 = (n + 2)(2n− 1)! n!(n− 1)! 9
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