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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemáticas
Segundo semestre de 2012
MAT1610 ? Cálculo I
Gúıa N◦ 3
Derivadas.
Problemas del texto gúıa. (Edición 2002)
Sección 2.8: 4− 8 , 13− 30
Sección 2.9: 19− 28 , 39− 45
Problemas adicionales.
1. Usando la definición, calcule la derivada de las siguientes funciones, en los puntos
indicados:
a) f(x) = 3x2 + 2 en x = 2 b) g(x) =
√
x− 6 en x = 15
c) h(x) = sen(x) en x =
π
2
d) j(x) =
x− 2
x
en x = 4
e) k(x) =

x2 sen
(
1
x
)
, si x 6= 0
0 , si x = 0
en x=0
f) l(x) = cos(3x) en x =
π
3
g) r(x) = x+
1
x
en x = 2
2. Calcule la derivada en el punto indicado:
a) f(x) = 4x5 + 2x3 − 6x en x = 3
b) g(x) =
x+ 6
x− 2
en x = 1
c) h(x) =
t
x2 − 4
en x = 4
1
d) g(x) =
(√
x− 1√
x
)3
en x = 4
3. Si f(10) = −1
2
, g(10) = 6 , f ′(10) =
1
3
, g ′(10) = 8. Encontrar :
a) (5 f + g) ′(10) b)(6 f · g − 9 g) ′(10)
c)
(
f
g
) ′
(10) d)
(
1
g
− g
f
) ′
(10)
4. Estudie la continuidad y la derivabilidad de :
f(x) =

xn sen
(
1
x
)
, x 6= 0
o , x = 0
para n ∈ N
5. Estudie la continuidad de f(x) y de f ′(x) si
f(x) =

x2 + x− 1 , x < 1
x3 , x ≥ 1
6. Determine los valores de m y b de modo que la función:
f(x) =

sen(x) , x < π
mx+ b , x ≥ π
sea cont́ınua y derivable en x = π
7. Determine f ′(a), si f(x) = (x− a)ϕ(x) y la función ϕ(x) es cont́ınua en x = a.
8. Si f(x) = 3x2 − 5x encuentre f ′(2) y use este resultado para encontrar la ecuación
de la recta tangente a la parábola y = 3x2 − 5x en el punto (2, 2).
2
9. Decida si la recta tangente a la curva f(x) = x3 − 3x2 − 9x en el punto (−1, 5) es
paralela a la recta y = 2.
10. Encuentre el punto, donde la tangente al gráfico de f(x) = (x + 2)3(x− 1)2 en el
punto (2, 8) intersecta al eje vertical.
11. Halle la ecuación de la recta normal a la curva f(x) =
x2 + 1
x3 + 1
en el punto de abcisa 0.
12. Dada la curva y = x3.
a) ¿En qué puntos de ésta curva la tangente corta al eje X en (1, 0)?
b) ¿En qué punto de ésta curva la tangente es paralela a la recta 12x− y = 16?
13. Determine la relación que deben cumplir a, b y c ∈ R para que la función:
f(x) = ax2 + bx+ c
sea tangente al eje X.
14. Dada la función f(x) = x+ x2.
a) Determine f ′(x) usando la definición.
b) Grafique f(x)
c) ¿Para que valores de x ∈ R se tiene que f ′(x) = 0?
d) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes T1 y T2 a f(x) en los puntos
x = 0 y x = −1 , respectivamente. Demuestre que el punto de intersección de
T1 y T2 se ubica en el eje de la parábola.
3
Regla de la cadena. Derivada de la inversa.
Problemas del texto gúıa. (Edición 2002)
Sección 3.5: 1− 42 , 56− 58 , 74− 78
Problemas adicionales.
1. En cada caso, calcule la derivada de la función dada en el punto indicado:
a) f(x) = x5 − 3x4 + 6x en x = 2
b) g(x) =
x+ 6
x+ 2
en x = 0
c) h(t) =
t
x3 − 4
en t = 2
d) g(x) =
√
t− 1√
t
en t = 4
2. Calcule la derivada de f(x) usando la Regla de la Cadena.Simplifique.
a) f(x) =
√
1− x
1 + x
b) f(x) =
x√
1− x2
c) f(x) = sen
(
x
x− 1
)
d) f(x) =
sen x− x cos x
cos x+ x sen x
e) f(x) =
√
x+
√
x+
√
x+
√
x
f) f(x) =
(
a+ b xn
a− b xn
)m
n,m ∈ N
g) f(x) =
√
x
(
1 +
sen x
x
)
h) f(x) =
(
x2 + 1
x3 + 4
)1/5
4
i) f(x) =
√
sen (x3 − 1) + x
j) f(x) = Arcsen ( tg(x) + x )
j) f(x) =
√
1− (Arcsen x)2
k) f(x) = (1 + x4) Arctgx2 − x2
3. De las funciones f(x) y g(x) se sabe que f(3) = 4 , f ′(3) = −5 , g(4) = 3 , g ′(4) =
−1.
Determine para que valores de x es posible calcular (f ◦ g) ′ y/o (g ◦ f) ′ y encuentre
el valor numérico.
4. Si f(x) = x ex
2
y g(x) =
√
(x+ 1)2 + 3 , calcule (g ◦ f) ′ (1).
5. Sea g(x) = f
(
x− 1
x+ 1
)
con f ′(x) = x2, calcule g ′(x).
6. Determine en que puntos del intervalo ]− 1, 2[ es derivable la función:
f(x) = [x] + |x− 1|
7. Determine en que puntos de R es derivable la función:
f(x) = x |x− 1|
8. Sea f(x) = 2x2 + 3x− 4 y h(x) = f
(
1
x
)
, calcule h ′(x).
9. La función f(x) = x3+5x2−3x+2 , admite inversa para x ≥ 1. Determine (f−1) ′(24)
10. Sea f(x) = x3 − 3x2 − 1 , x ≥ 2 . Determine (f−1) ′(−1).
11. Sea f(x) es una función derivable e invertible, y tal que la recta tangente a f(x) en
(2, 4) tiene pendiente
1
3
. Calcule (f−1) ′(4).
5
12. Usando la derivada de la función inversa, calcule en cada caso la derivada de
a) f(x) = arctan(
√
x)
b) f(x) = arcsin
(
3x
4
)
c) f(x) = e
4√x
d) f(x) = ln
(arctan(x)
1 + x2
)
6