cap03

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VECTORES
Capítulo 03
Contenidos:
● Escalares y vectores
● Sistemas de coordenadas
● Algunas propiedades de los vectores
● Componentes de un vector
● Vectores unitarios
Vectores
Las magnitudes físicas fundamentales que 
estudiamos en el capítulo de introducción son 
tales que están determinadas por medio de un
único número. Llamaremos a este tipo de 
magnitudes escalares.
Existe otro tipo de magnitudes físicas que 
están determinadas por más de un único 
número. Ellas son las magnitudes que
denominaremos vectores.
Vectores
Algunos ejemplos de magnitudes escalares son:
Temperatura
Resistencia eléctrica
Diferencia de potencial
Presión
Vectores
Algunos ejemplos de vectores son:
Fuerza: coloquialmente hablamos de cuánta 
fuerza ejercemos y de hacia dónde y dónde la 
ejercemos.
Velocidad: acostumbramos hablar de qué tan 
rápido nos movemos y hacia dónde.
Desplazamiento: decimos cuánto nos hemos
movido y hacia dónde.
Vectores
De los tres ejemplos anteriores se ve que los 
vectores tienen algunos elementos en común:
● Están completamente definidos por más de un 
número o valor.
● Intuitivamente están asociados a las ideas de 
magnitud y dirección.
● En este capítulo, estas nociones las
formularemos matemáticamente.
Vectores
Comenzaremos considerando el concepto de posición
Podemos indicar un punto por 
un par de coordenadas (x,y) en 
un sistema de coordenadas 
cartesiano, como en la figura: 
m
m
Ahora, podemos imaginar que en 
el punto P(4,2) se encuentra un 
objeto. 
Decimos entonces, que la 
posición de dicho objeto está
descrita por el punto P cuyas 
coordenadas son x = 4m e y = 2m
Vectores
m
m
Como vemos, se requieren dos 
números, x = 4 m e y = 2 m, para 
determinar e informar la 
posición de un objeto.
Notemos que, en el ejemplo, el 
objeto está sobre un plano.
En general, se requieren más de 
dos números para establecer la 
posición de un objeto. Por 
ejemplo, en el espacio.
Vectores
m
m
Dos cuadras: idea de la distancia entre dos 
puntos. Cantidad de cuadras que se debe 
recorrer para llegar a la posición deseada.
Hacia el centro: idea de la dirección en la que se 
debe caminar para llegar a la posición deseada.
En algunas situaciones usamos coordenadas, 
indicamos, por ejemplo, la “intersección de un 
par de calles”. En otras situaciones decimos
“dos cuadras hacia el centro”.
Vectores
Matemáticamente, ¿de dónde proviene nuestra noción de 
la vida diaria en la que se indica la posición de un objeto
por medio de qué tan lejos se encuentra y en qué
dirección?
Distancia desde el origen
0 hasta el punto P:
Ángulo formado por la flecha, 
con respecto al eje x:
Vectores
x
y
P(x0 , y0)
x0 
y0
0
r 2 2
0 0r x + y=
( )1 0 0tan /θ y x−=
Podemos indicar la posición de cualquier punto por 
medio de los valores de r y del ángulo θ 
Decimos que la flecha que comienza en el origen 0 y 
termina en el punto P representa gráficamente a un 
vector.
El largo de la flecha se 
llama módulo del vector.
El ángulo que el vector 
forma con respecto al eje 
x es su dirección.
Definición de vector
r
x
y
P(x0 , y0)
x0 
y0
0
Algunos ejemplos de magnitudes físicas
vectoriales que estudiaremos en el transcurso 
de esta asignatura:
Desplazamiento 
Velocidad
Aceleración
Fuerza
Torque 
Momento lineal 
Momento angular
...
Vectores
Consideraremos dos vectores como equivalentes 
cuando sus módulos y direcciónes sean iguales
Los vectores A y B son equivalentes, 
tienen igual módulo y dirección.
Los vectores A y C no son equivalentes,
tienen la misma dirección, pero su 
módulo es distinto.
Los vectores A y D no son equivalentes,
tienen el mismo módulo, pero sus 
direcciones son distintas.
Los vectores A y E no son equivalentes,
difieren tanto en módulo, como en 
dirección.
x
y
A
B
C
D
E
Equivalencia de vectores
Equivalencia de vectores
El transporte de A paralelo al 
eje x produce un nuevo vector 
equivalente B
El transporte de A paralelo al 
eje y produce un nuevo vector 
equivalente B
Ejemplo:
x
y
A B
0 x
y
A
B
0
Suma de vectores
La suma de vectores es Conmutativa
Multiplicación por un Escalar
Al multiplicar un vector por un número (un escalar) 
obtenemos un nuevo vector, con la misma dirección
que el inicial, pero con una longitud distinta.
x
y
A
0 x
y B = αA
0
Multiplicación por un Escalar
α = − 1Con la elección:
hemos invertido el vector
Ejemplo:
x
y
A
0
B = −A
x
y
0
Substracción de vectores
Substracción de vectores
Hemos visto gráficamente algunas operaciones sobre 
los vectores. Sin embargo, para nuestros estudios 
posteriores necesitaremos una descripción analítica de 
los mismos.
Tienen la dirección positiva del eje
Son perpendiculares (ortogonales)
Tienen módulo uno (adimensionales)
Definiremos los vectores y , 
los cuales tienen las siguientes
tres propiedades:
î ĵ
Vectores unitarios
x
y
î
ĵ
0
Descomposición de vectores
A = Ax + Ay
De la suma de vectores 
sabemos que:
De la multiplicación por
un escalar sabemos que:
A x a x i
A y a y j
Luego:
A ax i a y j
x
y
A
Ax
Ay
î
ĵ
0
Todo vector puede ser descompuesto como una
suma de los vectores unitarios multiplicados por
la componente escalar de cada eje.
Por ejemplo, en la figura:
A 6 i 4 j
y
i
j
A
ax
ay
x0
A ax i ay j
Operaciones con vectores.
Consideremos los vectores:
ˆ ˆ x yA = a i + a j ˆ ˆ x yB = b i + b j
Suma de vectores:
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ x y x yC A + B a i + a j + b i + b j= =
( ) ( )ˆ ˆ x x y yC a + b i + a + b j=
ˆ ˆ x yC c i + c j=
Operaciones con vectores
Resta de vectores:
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ x y x yC A B a i + a j b i + b j= − = −
( ) ( )ˆ ˆ x x y yC a b i + a b j= − −
ˆ ˆ x yC c i c j= +
O sea, que para la suma y resta de vectores, se tiene:
 x x x y y yc a b c a b= ± = ±
Multiplicación de un vector por un escalar:
( )ˆ ˆ x yC αA α a i + a j= =
ˆ ˆ x yC c i + c j=
( ) ( )ˆ ˆ x yC αa i + αa j=
O sea, que para este caso, se tiene:
 x x y yc a c aα α= =
Producto Escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores y es una 
cantidad escalar igual al producto de las magnitudes de los 
dos vectores y el coseno del ángulo entre los dos vectores.
( )A B A B co s θ⋅ =
A B
Proyección de sobre A B
θ
A cos θ
B
A
θ
B cos θ
A
B
Proyección de sobre B A
Se cumplen las siguiente propiedades:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1i i j j k k⋅ = ⋅ = ⋅ =
El producto escalar entre 
vectores unitarios es:
( ) A B + C A B + A C⋅ = ⋅ ⋅ Distributiva
Conmutativa A B B A⋅ = ⋅
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0i j j k k i⋅ = ⋅ = ⋅ =
î
ĵ
k̂
z
x
y
( ) A λB λ A B⋅ = ⋅ Asociativa
x x y y z zA A A A + A A + A A⋅ =
2 2 2
x y zA A A + A + A⋅ =
2A A A⋅ =
ˆ ˆ ˆ
x y zA A i + A j + A k= ˆ ˆ ˆx y zB B i + B j + B k=
Si los vectores están expresado en componentes:
Entonces, se define el producto escalar como:
Caso particular: A B=
x x y y z zA B A B + A B + A B⋅ =
Si conocemos la magnitud de 
un vector, |A|, y su dirección, el 
ángulo θ, entonces podemos 
calcular sus componentes de la 
siguiente forma:
Inversamente, si conocemos 
sus componentes podemos 
calcular su módulo y su 
dirección, de la siguiente
forma:
y
i
j
A
ax
ay
xθ
|A |
0
ax = |A|cos(θ)
ay = |A|sin(θ)
2 2 x yA a + a=
( )1 tan /y xθ a a−=
La descomposición de un vector
en un plano, en vectores unitarios 
ortogonales, puede ser extendida 
al caso del espacio 
tridimensional. 
Luego, un vector arbitrario 
se descompone como:
Basta considerar tres vectores 
ortogonales unitarios, como se 
aprecia en la figura.
A ax i a y j az k
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