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FACULTAD DE INGENIERÍA - DEPARTAMENTO DE FÍSICA FÍSICA II-2016 ESPECIALIDADES: AGRIMENSURA-CIVIL-QUÍMICA-ALIMENTOS-BIOINGENIERÍA 1 GUÍA DE PROBLEMAS PROPUESTOS Y RESUELTOS - ELECTROSTÁTICA Datos necesarios para resolver los problemas de la guía: Constante Ley de Coulomb K = 9 x 109 Nm2 /C2. Permitividad del vacío є0 =8,85x10-12 C2 /N m 2 =8,85x10-12 F/m Carga del electrón, e =- 1,6x10-19 C Masa del electrón me= 9,1 x 10 -31Kg Carga del protón =+ 1,6 x 10–19 C. Masa del protón = mP = 1,67 x 10 –27 Kg. Problema Nº 1 En un sistema de coordenadas rectangulares se colocan tres cargas puntuales, q1= 2 x 10 -9 C ; q2= - 2 x 10 -9 C y q3= - 3 x 10 -9 C en los puntos (0,0); (2,0) y (0,2) respectivamente. Si las coordenadas están dadas en metros. Calcular el módulo de la fuerza neta que actúa sobre cada una de las cargas y el ángulo que cada vector forma con la horizontal. Rta : F1 = 1,62 x 10 -8 N; θ1= 56,30º F2=6,38x10 -9 N; θ2= 228,40º F3=9,94x10 -9N; θ3= 241,34º Problema Nº 2 Cuatro cargas puntuales idénticas de q=+10µC se colocan sobre las esquinas de un rectángulo de dimensiones 60 cm y 15 cm. Calcular la magnitud y la dirección de la fuerza neta electrostática ejercida sobre la carga de la esquina inferior izquierda del rectángulo por las otra tres cargas. Rta: 40,3 N; 263o Problema Nº 3 Dos péndulos eléctricos, de 10cm de longitud y masas esféricas iguales de 5 mg en sus extremos, cuelgan del mismo punto. Si al cargar cada una de las esferas con una carga q, los péndulos se separan de la vertical hasta formar un ángulo de 60º entre sí ¿cuál es el valor de q? (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía) Problema Nº 4 Tres esferas tienen igual carga y están colocadas como indica la figura. La esfera C ejerce una fuerza de 4x10-6 N sobre la esfera B. Calcular a) la fuerza que hace la esfera A sobre la B. b) el módulo y el sentido de la fuerza total sobre la esfera B. (Considerar las esferas como cargas puntuales). Rta : FAB= 3 x10 -6 N FB= 5 x10 -6 N Problema Nº 5 En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de 2 x 10–10 C en el punto (0;0), y otra de 4 x 10–10C en el punto (0;6), estando las coordenadas expresadas en metros. B C A cm 3 2 cm1 q q 60° Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 2 a) Calcular el campo eléctrico resultante en los puntos P(0;3) y Q(0;8). b) Idem si la segunda carga es negativa. Rta: (b) EP = 0,6 (N/C); EQ = 0,87 (N/C). (La solución de la parte (a) de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 6 Dos cargas puntuales una de magnitud +2 µC y la otra de -3µC se localizan sobre el eje y. La primera está en y= 3m y la otra en y= 1m a) Determinar el campo eléctrico sobre el eje x, en x= 4m. b) Aplicando el concepto de campo eléctrico, determinar la magnitud de la fuerza que actuaría sobre una tercera carga de 4µC colocada sobre el eje x, en x= 4m y dibujar el vector correspondiente. Rta: a) 6,31x102 N/C; b) 2,52 x10-3 N Problema Nº 7 Tres cargas puntuales de valores q1 = q3= 3 x 10 -9 C y q2= - 6 x 10 -9C se encuentran colocadas como indica la figura. Si a= 2m, Hallar el campo eléctrico resultante punto P y el ángulo que E forma con la horizontal. Rta: E= 27 N/C = 225° Problema Nº 8 Una varilla no conductora tiene una carga q uniformemente distribuida en toda su longitud. Deducir la expresión del campo eléctrico en el punto P, ubicado sobre la perpendicular bisectriz a la varilla y a una distancia a de la misma: a) Si la varilla es infinitamente larga. b) Si la varilla tiene un largo l. (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 9 Un electrón que se mueve con una velocidad de 5x108cm/s, se dispara paralelamente a un campo eléctrico de intensidad 1x103 N/C, colocado de modo que retarde su movimiento. a) ¿Hasta dónde llegará el electrón en el campo antes de quedar momentáneamente en reposo? b)¿Cuánto tiempo transcurrirá? Rta: a)7,1cm b)2,9x10-8s Problema Nº 10 Un electrón se lanza dentro de un campo eléctrico uniforme de 5000 (N/C) dirigido verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 1,0 x 107(m/s) y forma un ángulo de 30° con la horizontal. a) Calcular la altura máxima alcanzada por el electrón por encima de su altura inicial. b) Calcular la distancia horizontal que recorre el electrón antes de volver a su altura inicial. (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 11 Se aplica un campo eléctrico de 5,0.104N/C, a lo largo del eje x. Calcular el flujo eléctrico a través de un plano rectangular de 0,2 m de ancho y 0,8 m de largo, si: a) éste es paralelo al plano yz, b) es paralelo al plano xy y c) contiene al eje y y su normal forma un ángulo de 53° con el eje x. Rta: a) E = 8x10 3 N.m2/C b) E = 0 Nm 2/C c) E =4,8x10 3N.m2/C Problema Nº 12 En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de 3 x 10–9 C en el punto (0;0), otra de 3 x 10–9C en el punto (0;2), y una tercera de 4 x 10–9 C en el punto (0;6), estando q1 q2 q3 P a a Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 3 las coordenadas expresadas en metros. Calcular el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica con centro en el punto (0;0) y radio: a) 1m. b) 3 m. c) 10 m. Rta: a) E = 339 Nm 2/C b) E = 0 c) E = 452 Nm 2/C Problema Nº 13 Dos esferas metálicas, huecas y concéntricas, de radios 3 cm y 6 cm, respectivamente, tienen cargas de – 3 x 10–10 C y 3 x 10–10 C. Calcular el módulo del campo eléctrico: a) A 2 cm del centro. b) A 5 cm del centro. c) A 9 cm del centro. Rta: a) E = 0; b) E = 1080 (N/C) c) E = 0 Problema Nº 14 Dos largos cilindros coaxiales, de radios 1 cm y 3 cm, tienen cargas de igual valor y signo contrario, siendo la densidad lineal de carga de 3 x 10–9 (C/m). Calcular el módulo del campo eléctrico en los siguientes puntos: a) A 0,5cm del eje. b) A 2cm del eje. c) A 5cm del eje. (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 15 Una esfera de 4 cm de radio tiene una carga neta de +39 µC .a)Si la carga está uniformemente distribuida sobre el volumen de la esfera ¿Cuál es la densidad de carga volumétrica? b) Si la carga está uniformemente distribuida sobre la superficie de la esfera ¿Cuál es la densidad superficial de carga? a)0,145 C/cm3 b)1,94x10-3C /cm2 Problema Nº 16 Una esfera no conductora de radio R está cargada con una carga Q uniformemente distribuida en todo su volumen. Deducir la expresión del módulo del campo eléctrico: a) Para puntos interiores (r R), b) Para puntos exteriores (r R) de la esfera. c) Graficar E en función de la distancia al centro de la esfera (r). Rta: a) E = kQr/R3 b) E = kQ/r2 Problema Nº 17 Dos grandes placas metálicas, de 4 m2 de área, están una frente a la otra, separadas 1 cm. Las láminas tienen cargas iguales y de signo contrario sobre sus superficies interiores. a) Deducir la expresión del módulo del campo eléctrico entre las placas. b) Calcular la carga de las placas si el campo eléctrico entre ellas es de 6 (N/C). Despreciar los efectos de borde. Rta: a) E = /o b) Q = 2,1 x 10 -10 C Problema Nº 18 Una esfera aislante sólida de radio a tiene una densidad de carga uniforme y una carga total Q. Concéntrica con esta esfera está otra esfera hueca conductora y descargada, cuyos radios interior y exterior son b y c, respectivamente, como se ve en la figura. a) Determinar la intensidad del campo eléctrico en las regiones : a) r < a, b) a < r < b c) b < r < c y d) r > c. + + + + + + _ _ _ _ _ +q -q Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 4 Rta: a) E = Q r / 40 a 3 b) E = Q / 40 r 2 c) E = 0 d) E = Q / 40 r 2 PROBLEMA Nº 19 Calcular la rapidez de un protón que se acelera desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 120 V. b) Realizar el mismo cálculo para un electrón. Rta:a) 1,52 x106 m/s /s b) 6,50 x106 m/s Problema Nº 20 En la figura la carga A tiene 20C, mientras que la carga B tiene -10C. a) Calcular el potencial en los puntos C y D. b)¿Cuánto trabajo debe hacerse para llevar una carga de 50C desde el punto C al punto D? Rta: a) Vc = -225000 V VD = 787500 V b) W = 50,625 J Problema Nº 21 Una esfera pequeña de masa 1,5g cuelga de una cuerda entre dos placas verticales paralelas separadas por una distancia de 5cm. Las placas son aislantes y tienen densidades superficial de carga uniformes de + y - . La carga de la esfera es q= 8,9 x10-6C. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas, que ocasionará que la cuerda forme 30° con la vertical? Rta: V= 47,5V Problema Nº 22 Se coloca una carga puntual de – 3 x 10–10 C en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. a) Calcular el potencial eléctrico en el punto P, de coordenadas (8m; 0m). b) ¿Qué trabajo hay que hacer para colocar una carga de 5 x 10–10 C en el punto P? c) Calcular el potencial que ambas cargas crean en un punto S, de coordenadas (2m; 0m). d) ¿En qué punto del segmento que determinan ambas cargas se anula el potencial? e) Si se coloca una carga de 2 x 10–10 C en el punto de coordenadas (0m; 4m), ¿cuál es la energía potencial eléctrica del sistema formado por las tres cargas? Rta: a) VP = – 0,34 V b) W2 = – 1,7 x 10 –10 J c) VS = – 0,6 V d) (3m:0m) e) U = – 2 x 10 –10 J Problema Nº 23 Un trozo de varilla no conductora, de largo L, tiene una carga Q, uniformemente distribuida en toda su longitud. Demostrar que el potencial en el punto P vale: a ba kV ln. ; donde: 04 1 k y l q A(20C) D C B(-10C ) 20cm 60cm 20cm Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 5 (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 24 a) Deducir la expresión de la diferencia de potencial entre dos esferas huecas y concéntricas, de radios a y b, cargadas con cargas – Q y + Q, respectivamente. b)Calcular la diferencia de potencial entre las dos esferas si: a = 3 cm, b = 4 cm y Q = 2 x 10-9 C Rta: a) ab ab kQVV ab b) Vb – Va = 150 V Problema Nº 25 Calcular la diferencia de potencial entre dos cilindros coaxiales de radios a = 1 cm y b = 3 cm, cargados con cargas de igual valor y signo contrario, si la densidad lineal de carga es de 2 x 10–7 (C/m). (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía Problema Nº 26 Cuando se aplica una diferencia de potencial de 150V a las placas de un capacitor de placas paralelas, las placas adquieren una densidad de carga de 30nC / cm2. Determinar cuál es el espaciamiento entre las placas. Rta: 4,42 x 10-6 m Problema Nº 27 Calcular la capacitancia de un capacitor esférico de radios a = 1 cm y b = 2 cm. a) Con dieléctrico de aire. b) Con dieléctrico de porcelana. ( = 6,5). Rta: a) C= 2,2 pF b) C' = 14,3 pF Problema Nº 28 Determinar la capacitancia por unidad de longitud de un condensador cilíndrico de radio interior a = 2 cm y radio exterior b = 3 cm: a) Con dieléctrico de aire. b) Con dieléctrico de papel ( = 3,5). (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 29 En la conexión de la figura, Ca = 2 F, Cc = 6 F, Qc = 360 C y Va = 40 V. Calcular qa, qb, V, Vb y Cb (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía). Problema Nº 30 Dos capacitores, a y b, están conectados en paralelo entre sí, y en serie con un tercero, c. Si Ca = 1 μF, Cb = 2μF, Cc = 5 μF, y se le aplica al conjunto una diferencia de potencial de 30 V, determinar: la carga y la diferencia de potencial de cada capacitor, y la energía almacenada por cada uno de ellos. Rta: qa =18,75 C; qb = 37,5 C; qc =56,25 C ; Va =18,75 V ; Vb = 18,75 V ; Vc = 11,25 V; Ua = 175,78 J; Ub = 351,56 J; Uc = 316, 4 J P b a Cb Cc Ca V Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 6 Problema Nº 31 En la figura se representan cuatro condensadores, de idéntica forma y dimensiones, con un valor de capacitancia de 10-9F. determinar:a)la capacitancia equivalentedel conjunto, b)diferencia de potencial y la carga de cada capacitor, c) la energía almacenada en cada uno de ellos. ealizar los mismos cálculos cuando en C2 se coloca un dieléctrico de parafina(k= 2,3), a C3 uno de azufre (k= 3) y en C4 uno de mica(k= 5). ******************************************************************** Problemas Resueltos Problema Nº 3 Dos péndulos eléctricos, de 10cm de longitud y masas esféricas iguales de 5 mg en sus extremos, cuelgan del mismo punto. Si al cargar cada una de las esferas con una carga q, los péndulos se separan de la vertical hasta formar un ángulo de 60º entre sí ¿cuál es el valor de q? Solución Se considerará la esfera de la derecha, ya que la situación es igual para ambas. Como se ve en la figura 1, la esfera se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas: la tensión del hilo (T), el peso (mg) y la fuerza de origen eléctrico (F). Se toma un sistema de ejes coordenados con origen en el centro de la esfera y se descompone T en dos direcciones perpendiculares (figura 2). Las condiciones de equilibrio para un sistema de fuerzas concurrentes son: 0xF y 0Fy Aplicando las condiciones de equilibrio a este caso, se tiene: 0 TsenF y 0cos mgT Despejando T de la segunda ecuación y reemplazando en la primera: α T mg F mg Tsen F Tcos Figura 1 Figura 2 q q 60° C2 C3 C1 V=100V C4 Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 7 0 cos sen mgF 0. tgmgF tgmgF . (1) De acuerdo con la ley de Coulomb: 2 2 r kq F (2) De (1) y (2): 22 .. rtgmgkq k rtggm q 2... (3) kgxmgm 61055 mcml 1,010 2/8,9 smg ; 2 2 9109 C Nm xk 30 5,0sen 58,0tg De la figura, la separación r entre cargas es: 5,0.1,0.2.22 mlsenddr mr 1,0 Reemplazando los valores en (3): 229 226 /109 1,0.58,0)./8,9(105 CNmx msmkgx q Cxq 91062,5 Las cargas son del mismo signo (positivas o negativas) y valen 5,62 x 109 C. **************************************************** Problema Nº 5 En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de 2 x 10–10 C en el punto (0;0), y otra de 4 x 10–10C en el punto (0;6), estando las coordenadas expresadas en metros. a) Calcular el campo eléctrico resultante en los puntos P(0;3) y Q(0;8). b) Idem si la segunda carga es negativa. Solución parte (a) Campo en el punto P (0;3) Primero se dibujan los vectores representativos del campo que cada carga crea en el punto. Para ello se imagina que se coloca en el punto una carga de prueba, que es positiva. La dirección y el sentido en que tendería a moverse la carga de prueba, por acción de la carga, dan la dirección y el sentido del campo que la carga crea en el punto. q q α r d Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 8 q1 P Ep1 Ep2 E p q 2 EP1 : Campo en P debido a la carga q1. EP2 : Campo en P debido a la carga q2. CN m CxxCNmx r kq EP /2,0 )3( 102/109 2 10229 2 1 1 1 CNEP /2,01 CN m CxxCNmx r kq EP /4,0 )3( 104/109 )( 2 10229 2 2 2 2 CNEP /4,02 EP = EP1 + EP2 ; (Suma vectorial) Como los vectores son colineales y de sentido contrario, el vector suma tiene la misma dirección que los anteriores, módulo igual a la diferencia de los módulos y sentido el del mayor de los vectores, como se muestra en la figura. Por lo dicho anteriormente, el módulo de EP es: CNCNEEE PPP /2,0/4,012 CNEP /2,0 Campo en el punto Q (0;8) EQ1 : Campo en Q debido a la carga q1. EQ2 : Campo en Q debido a la carga q2. CN m CxxCNmx r kq EQ /03,0 )8( 102/109 )( 2 10229 2 1 1 1 CNEQ /03,01 CN m CxxCNmx r kq EQ /9,0 )2( 104/109 )( 2 10229 2 2 2 2 CNEQ /9,02 EQ = EQ1 + EQ2 ; (Suma vectorial) Como los vectores son colineales y de igual sentido, el vector suma tiene la misma dirección y sentido que los anteriores, como se muestra en la figura, y su módulo es igual a la suma de los módulos. Luego, el módulo de EQ es: CNCNEEE QQQ /9,0/03,021 CNEQ /93,0 ******************************************** EQ q1 q 2 Q EQ1 EQ2 Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 9 Problema Nº 8 Una varilla no conductora tiene una carga q uniformemente distribuida en toda su longitud. Deducir la expresión del campo eléctricoen el punto P, ubicado sobre la perpendicular bisectriz a la varilla y a una distancia a de la misma: a) Si la varilla es infinitamente larga. b) Si la varilla tiene un largo l. Solución Ed Ed Se toma un sistema de coordenadas en el cual el eje x coincide con el eje de la varilla, y el eje y con la bisectriz. Se considera un elemento de varilla de longitud dx, ubicado a una distancia x del origen de coordenadas, y cuya carga es dq . Esta carga crea en el punto P un campo Ed , cuyo módulo es 2r kq dE El campo eléctrico resultante en P será dEE (Es una integral vectorial, y hay que integrar para toda la longitud de la varilla). Se descompone el campo Ed en sus componentes xEd y yEd Como yx EdEdEd se tiene: yx EdEdE Considerando el elemento de varilla ubicado a una distancia x del origen, el cual es simétrico, respecto del eje y, del primer elemento considerado, se ve que crea un campo Ed , cuya componente horizontal es igual y opuesta a la que crea el primer elemento, mientras que la componente vertical es la misma. Como lo anterior se cumple para cada par de elementos simétricos, la primera integral del segundo miembro es nula. Luego: ydEE Como todos los vectores yEd son colineales y de igual sentido, se puede escribir: ydEE (Integral escalar) En la figura se ve que dEsendEy luego: 2 .. r sendqk dE y Llamando a la densidad lineal de carga (carga por unidad de longitud), se tiene que dxdq Luego, la integral queda: 22 r dxsen k r senk E Como se tienen tres variables dentro del signo de integral (x, r y ), hay que dejar una sola para poder integrar. De la figura se tiene: x dx xEd yEd xEd + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + -x θ a y x Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 10 gax cot. 2 2 )( )(cos sen ad decadx ; r a sen ; sen a r ; )( 2 2 sen a r Reemplazando dx y r2 en la integral: dsen a k sena sensenad kE 22 2 / / a) Si la varilla es infinitamente larga, varía entre 0 y . 0coscoscos. 0 0 a k a k dsen a k E b) Si la varilla tiene un largo l, varía entre y , como se ve en la figura. coscos)cos( a k a k dsen a k E Como + = ; cos = cos; a k E cos.2. Como l q y 04 1 k al q al q E ...2 cos. ...4 cos..2 .00 De la figura: cosα = 2/1222/122 42/ )2/( la l la l luego: aa k E 02 2 ß α θ І / 2 y 2/1220 ).4.(2 laa q E Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 11 Problema Nº 10 Un electrón se lanza dentro de un campo eléctrico uniforme de 5000 (N/C) dirigido verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 1,0 x 107(m/s) y forma un ángulo de 30° con la horizontal. a) Calcular la altura máxima alcanzada por el electrón por encima de su altura inicial. b) Calcular la distancia horizontal que recorre el electrón antes de volver a su altura inicial. Masa del electrón me = 9,1 x 10 –31 Kg. Carga del electrón e = – 1,6 x 10–19 C. Solución En este caso, como el campo eléctrico está dirigido hacia arriba, la fuerza que actúa sobre el electrón es hacia abajo. La situación es semejante a la de un proyectil lanzado con un cierto ángulo sobre la horizontal, dentro del campo gravitatorio. Se desprecia la fuerza peso, por ser mucho menor que la fuerza de origen eléctrico, y se considera que el electrón está sometido sólo a la acción de esta última. La trayectoria que describe el electrón es la indicada. Se descompone el movimiento en dos: 1) Un movimiento vertical, uniformemente retardado y 2) Un movimiento horizontal, uniforme. Se llama H a la altura máxima que alcanza el electrón por encima de su nivel inicial y X a la distancia horizontal que recorre el electrón hasta que vuelve a su altura inicial. Se descompone la velocidad inicial en dos direcciones: una vertical, de módulo voy, y otra horizontal, de módulo vox. smxsensmxsenVV y /10530./100,1. 67 00 smxsmxVV x /107,830cos./100,1cos. 67 00 a) Según el eje y el movimiento es uniformemente retardado. De la definición de campo eléctrico, se tiene que el módulo de la fuerza de origen eléctrico es: eEF . (1) Por la segunda ley de Newton: amF . (2) De (1) y (2): eEam .. luego; m eE a . 214 31 19 /108,8 101,9 106,1/5000 smx kgx CxCxN a 214 /108,8 smxa Cuando el electrón alcanza su altura máxima, la componente vertical de la velocidad se hace cero: 0 atvv oyy ; luego: a v t y0 (tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima). Como 2 . 2 0 ta tvy a vava a v vH yyy y 22 / 2 0 2 00 0 H X x V0 y α E F Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 12 mx smxx smx smxx smx H 2 214 212 214 26 1042,1 /108,82 )/(1025 /108,82 )/105( cmH 42,1 b) 2 . 2 0 ta tvy Cuando el electrón vuelve a su altura inicial, y = 0, luego: 2 . 0 2 0 ta tv ; a v t y02 (tiempo que tarda en volver a su altura inicial) Por lo tanto, la distancia horizontal recorrida en ese tiempo es: a v vX y x 0 0 2. mx smx smxxsmx X 2 214 66 109,9 /108,8 )/107,82.(/105 ******************************************** Problema Nº 14 Dos largos cilindros coaxiales,de radios 1 cm y 3 cm, tienen cargas de igual valor y signo contrario, siendo la densidad lineal de carga de 3 x 10–9 (C/m). Calcular el módulo del campo eléctrico en los siguientes puntos: a) A 0,5 cm del eje. b) A 2 cm del eje. c) A 5 cm del eje. Solución Para calcular el módulo del campo eléctrico se aplicará la ley de Gauss. Como la distribución de carga tiene simetría cilíndrica, se toma como superficie gaussiana un cilindro coaxial con los anteriores, suficientemente alejado de los extremos, de largo L y radio r, siendo r la distancia genérica al eje común. Se analizará primero el punto (b), que corresponde al caso general de puntos ubicados entre ambos cilindros, o sea para a r b. cmX 9,9 L dA E dA r E a b Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 13 La expresión de la ley de Gauss es: 0 . NqAdE Se evaluará primero la integral del primer miembro. Como se ve en la figura, los vectores E y Ad no forman el mismo ángulo sobre toda la superficie. Por ello se divide la superficie gaussiana, que es cerrada, en 3 superficies abiertas: la superficie lateral (S.L.) y las dos tapas (T y T'). Entonces, se tiene: TTSL AdEAdEAdEAdE .... TTSL EdAEdAEdAAdE 90cos90cos180cos. SLEdAAdE . Por razones de simetría, el módulo de E es constante sobre la superficie lateral, luego se puede sacar fuera del signo de integral. rLEAEdAAdE SL 2. (2) Por otro lado, la carga neta encerrada dentro de la superficie gaussiana es: LNq (3) De las ecuaciones (1), (2) y (3): (a r b) CN mxmNCx mCx E /2699 )102).(,/1085,8.(2 /103 22212 9 a r b dA E + + + + + + + - - - - L E + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - dA E r dA dA E 0..2 r E CNE /2699 0 ..2. L LrE Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 14 a) En este caso la superficie gaussiana es de radio r < a, o sea es interior al cilindro menor. Se aplica la ley de Gauss como en el caso anterior: 0 . NqAdE TTSL AdEAdEAdEAdE .... No se sabe si existe campo en el interior del cilindro menor, pero, de existir, debe ser radial, por lo tanto las dos últimas integrales del segundo miembro son nulas. Luego: SLEdAAdE . Es este caso qN = 0, luego: 0. SLEdAAdE Si existe campo, además de ser radial puede apuntar hacia el eje o hacia afuera de éste, luego: SL 00cos EdA o SL 0180cos EdA ; así SL 0dAE o SL 0)( dAE Como se ve, la integral es positiva o negativa, pero nunca nula. Como el producto de E por la integral es nulo, debe ser E = 0. Luego: c) En este caso se toma una superficie gaussiana de radio r > b, o sea es exterior al cilindro mayor. + + - - + - + Acá también es qn = 0, y por un razonamiento semejante al del caso anterior se llega a que + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + - + - - + - + L r b L + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + - - - Para r < a E = 0. E=0 para r > b. Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 15 Problema Nº 23 Un trozo de varilla no conductora, de largo L, tiene una carga Q, uniformemente distribuida en toda su longitud. Demostrar que el potencial en el punto P vale: a La kV ln donde: 0.4 1 k y L Q Solución Se divide la varilla en infinitos trozos de longitud dr y carga dq. El potencial que una carga q crea a una distancia r es: r kq V Por analogía, el potencial que una carga elemental dq crea a una distancia r es: r kdq dV Para obtener el potencial en P debido a la varilla cargada hay que sumar los potenciales que las infinitas cargas elementales dq crean en el punto, o sea hay que integrar. Luego: r kdq dVV La densidad lineal de carga, , se puede expresar así: dr dq Luego: drdq Reemplazando dq en la integral se tiene: r drk dVV . La variable de integración es r, que es la distancia entre un elemento de carga cualquiera y el punto P. Luego, r varía entre a y a + L. La a r dr kV ******************************************** P L a P L a dr r dq a La kV ln. Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 16 Problema Nº 25 Calcular la diferencia de potencial entre dos cilindros coaxiales de radios a = 1 cm y b = 3 cm, cargados con cargas de igual valor y signo contrario, si la densidad lineal de carga es de 2 x 10– 7 (C/m). Solución Como ambos cilindros son equipotenciales, se calculará la diferencia entre dos de sus puntos, B y A, siguiendo la línea radial que va de A a B. EdlEdldlEVV ab 180cos. El módulo del campo eléctrico entre los dos cilindros, según se vio (problema 12), vale: 0.2 r E Luego: r dl dl r VV ab 00 22 Como se tienen dos variables dentro del signo de integral (r y l), hay que dejar una sola para poder integrar. Para eso se busca una relación entre ambas. La variable r representa los radios, los cuales se miden desde el eje hacia afuera. La variable l representa los desplazamientos de la carga de prueba, que en este caso se realizan a lo largo de un radio, desde A a B, o sea de adentro hacia afuera. Por lo anterior, en este caso, dl = dr. Reemplazando dl por dr y colocando los límites correspondientes a r, se tiene: b a ab r dl VV 02 02 / ln ab VV ab 2 2 12 7 . 1085,8.2 )1/3( ln.102 mN C xx m C xVV ab VVV ab 4,3953 ******************************************** Q+ Q - A b dl E B a Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 17 Problema Nº 28 Determinar la capacitancia por unidad de longitud de un condensador cilíndrico de radio interior a = 2 cm y radio exterior b = 3 cm: a) Con dieléctrico de aire. b) Con dieléctrico de papel ( = 3,5). Solución Por definición, la capacitancia de un condensador es: ab VV q C (1) donde Vb Va es la diferencia de potencial entre las armaduras y q es la carga, en valor absoluto, de una de las armaduras. Según se vio (problema 25), la diferencia de potencial entre dos cilindros de radios a y b, largo L, cargados con cargas de igual valor y signo contrario, y densidad lineal de carga es: 02 / ln ab VV ab = 02 )/( ln ab l q (2) De (1) y (2), la capacitancia por unidad de longitud es: abL C /ln 2 0 (3) a) Con dieléctrico de aire mJ C x NmCx L C . 1037,1 )5,1ln( /1085,8.2 210 2212 mFx L C /1037,1 10 b) Con dieléctrico de papel CC .` ; L C L C ; )/(1037,15,3 10 mFxx L C )/(108,4 10 mFx L C ******************************************** Problema Nº 29 En la conexión de la figura, FCa 2 ; FCC 6 , CQC 360 y VVa 40 . Calcular qa, qb, V, Vb y Cb Solución De la definición de capacitancia: aaa VCq . ; CVFqa 8040.2 Cqa 80 Como los capacitores a y b están en serie, sus cargas son iguales: Cqq ba 80 V F C C q VV C C C 60 6 360 V = 60 V Como ba VVV ; VVVVVV ab 204060 ; VVb 20 F V C V q C b b b 4 20 80 FCb 4 ******************************************** Cb Cc Ca V Físíca II Agrimensura- Alimentos- Bioingeniería-Civil-Química Electrostática 18
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