Analisis combinatorio y teoria de la probabilidad - Carlos Tomas Santana Colin

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Unidad 3. Análisis combinatorio y teoría de la probabilidad 
3.1 Técnicas de conteo 
Un reto al que se han enfrentado muchas generaciones es contar el número de 
formas en las que un conjunto de objetos se puede ordenar. Por ejemplo, 
considérese un grupo de n individuos u objetos distintos (“distintos” significa que 
existe alguna característica que diferencia a cualquier individuo u objeto de 
cualquier otro). ¿Cuántas maneras existen de seleccionar un subconjunto de 
tamaño k del grupo? Por ejemplo, si un equipo de ligas menores tiene 15 jugadores 
registrados, ¿cuántas maneras existen de seleccionar 9 jugadores para una 
alineación inicial? O si en su librero tiene 10 libros de misterio no leídos y desea 
seleccionar 3 para llevarlos consigo en unas vacaciones cortas, ¿cuántas maneras 
existen de hacerlo? 
Una respuesta a la pregunta general que se acaba de plantear requiere distinguir 
entre dos casos. En algunas situaciones, tal como el escenario del béisbol, el orden 
de la selección es importante. Por ejemplo, con Ángela como lanzador y Ben como 
receptor se obtiene una alineación diferente de aquella con Ángela como receptor y 
Ben como lanzador. A menudo, sin embargo, el orden no es importante y a nadie le 
interesa qué individuos u objetos sean seleccionados, como sería el caso en el 
escenario de selección de libros. 
3.1.1 Permutaciones 
Una permutación es un arreglo de todos los elementos de un conjunto, o de una 
parte de ellos, en el que importa el orden. 
Teorema 1. Sean n, r ∈ N no negativos, con r ≤ n, entonces: 
a. El número de permutaciones de n objetos distintos es n! 
b. El número de permutaciones de n objetos distintos, tomando r a la vez, es 
 
donde n! = n(n - 1)(n - 2) … (3)(2)(1) y 0! = 1. 
 
Como se seleccionan r objetos, éste es un experimento de r-etapas. El primer objeto 
se puede escoger en n formas, el segundo en (n - 1) formas, el tercero en (n - 2) 
formas y el r-ésimo en (n - r + 1) formas. 
 
Recordemos que: 10! = 10*9! 
 = 10*9*8! 
 =10*9*8*7! 
 =10*9*8*7*6*5*4! 
Ejemplo 1. Determine el número de permutaciones de las letras A, B y C tomadas 
de 2 en 2. 
 nPr=
𝑛!
(𝑛−𝑟)!
 Dónde: n = 3 y r = 2 
 3P2 =
3!
(3−2)!
=
3∗2∗1!
(1)!
 = 3*2 = 6 
 
Ejemplo 2. ¿Cuántas palabras de cuatro letras pueden formarse con las letras A, 
B, C, D, E y F? 
n = 6; r = 4, por tanto: 
 
Ejemplo 3. ¿Cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras A, B, C, D, 
E y F, si es necesario que D, E y F estén juntas? 
No. Permutación 
1 AB 
2 BA 
3 AC 
4 CA 
5 BC 
 6 CB 
Solución 
Como se pide que D, E y F estén juntas, entonces consideramos estas letras como 
un solo elemento: 
 
Permutación de D, E y F 
3P3 =
3!
(3−3)!
=
3∗2∗1
(0)!
 = 
6
1
 = 6 o bien n! = 3! = 3*2*1 = 6 
 
Permutación de A, B, C y el grupo (D, E y F) 
n! = 4! = 4*3*2*1 = 24 
Por tanto el resultado es: (6)(24) = 144 
 
Ejemplo 4. Un colegio de ingeniería tiene siete departamentos, denotados por a, b, 
c, d, e, f y g. Cada departamento tiene un representante en el consejo de estudiantes 
del colegio. De estos siete representantes, uno tiene que ser elegido como 
presidente, otro como vicepresidente y un tercero como secretario. ¿Cuántas 
maneras existen para seleccionar los tres oficiales? Es decir, ¿cuántas 
permutaciones de tamaño 3 pueden ser formadas con los 7 representantes? 
Solución: Para responder esta pregunta, habrá que pensar en formar una tripleta 
(3-tupla) en la cual el primer elemento es el presidente, el segundo es el 
vicepresidente y el tercero es el secretario. 
Una tripleta es (a, g, b), otra es (b, g, a) y otra más es (d, f, b). 
Ahora bien, el presidente puede ser seleccionado en cualesquiera de n1 = 7 formas. 
Por cada forma de seleccionar el presidente, existen n2 = 6 formas de seleccionar 
el vicepresidente y por cada forma de seleccionar un presidente y vicepresidente, 
existen n3 = 5 formas de seleccionar el secretario. Esto da: 
7P3 =
7!
(7−3)!
=
7∗6∗5∗4!
(4)!
 = 7*6*5 = 210 
 
3.1.2 Combinaciones 
La combinación es otra técnica que permite la selección de objetos, sin fijarse en su 
orden. El número de formas de elegir r elementos de un conjunto de n objetos 
distintos, sin importar el orden, es: 
nCr =
𝑛!
𝑟!(𝑛−𝑟)!
 Dónde: n = 3 y r = 2 
Ejemplo 1. Determine el número de combinaciones de las letras A, B y C tomadas 
de 2 en 2. 
 nCr=
𝑛!
𝑟!(𝑛−𝑟)!
 Dónde: n = 3 y r = 2 
 3C2 =
3!
2!(3−2)!
=
3∗2!
2!(1)!
 = 3 
Ejemplo 2. Una tarjeta de circuito impreso se puede comprar de entre cinco 
proveedores. ¿En cuántas formas se pueden escoger tres proveedores de entre los 
cinco? 
 5C3 =
5!
3!(5−3)!
=
5∗4∗3!
3!(2)!
=
20
2
= 10 
Ejemplo 3. De cuantas maneras puede formarse una comisión de 3 hombres y 4 
mujeres, de entre un total de 8 hombres y 6 mujeres, si: 
a) Todos son elegibles 
b) Un hombre y una mujer deben ser elegidos 
a) Solución: Se tiene para los hombres: para las mujeres: 
8C3 =
8!
3!(8−3)!
=
8∗7∗6∗5!
3!(5)!
=
336
6
= 56 6C4 =
6!
4!(6−4)!
=
6∗5∗4!
4!(2)!
=
30
2
= 15 
Por lo tanto, las maneras de formar la comisión son: (56)(15) = 840 
b) Solución: Se tiene para los hombres: para las mujeres: 
7C2 =
7!
2!(7−2)!
=
7∗6∗5!
2!(5)!
=
42
2
= 21 5C3 =
5!
3!(5−3)!
=
5∗4∗3!
3!(2)!
=
20
2
= 10 
Por lo tanto las maneras de formar la comisión son: (21)(10) = 210 
No. Combinación 
 1 AB 
2 BC 
3 AC