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ÁLGEBRA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual Virtual UNI Docente: Jimmy Astupillo ECUACIONES I Semana 12 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Las ecuaciones nos sirven para calcular valores desconocidos, de ahí la palabra “incógnita” C U R S O D E Á L G E B R A Las ecuaciones son conocidas de hace mucho tiempo, ya aparecían en el Papiro de Rhind del siglo XVI a.n.e "Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24". Gracias al desarrollo de las ecuaciones se ha logrado el avance en la arquitectura, escultura, mecánica y las demás ciencias, siendo una parte fundamental en el desarrollo tecnológico C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A OBJETIVOS ✓ Aplicar las propiedades de las ecuaciones cuadráticas. ✓ Resolver ecuaciones de primer grado ✓ Resolver ecuaciones de segundo grado. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Arco parabólico Tacna LAS MATEMÁTICAS EN LA ARQUITECTURA El Arco Parabólico se encuentra en el Paseo Cívico de la ciudad de Tacna, en honor a los héroes del pacífico: Miguel Grau y Francisco Bolognesi. Tiene una altura de 18 m y forma parabólica. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A ECUACIONES Una ecuación es una igualdad de dos expresiones matemáticas, donde existe al menos una variable o incógnita. Ejemplos: I) 𝑥2 = 25 II) 𝑥 − 1 0 = 1 III) 1 𝑥 − 2 = 0 Solución Es el valor de la incógnita que verifica la igualdad. Ejemplos: I)En la ecuación 𝑥2 = 25, tenemos que 𝑥 = 5 es solución porque: 52= 25 II)En 𝑥 − 1 0 = 1, tenemos que 𝑥 = 8 es solución porque: 8 − 1 0 = 1 III) La ecuación 1 𝑥 − 2 = 0 no tiene soluciones. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Conjunto solución (C.S) Es el conjunto conformado por todas las soluciones de una ecuación Ejemplos: I) 𝑥2 = 25La ecuación tiene como conjunto solución 𝐶. 𝑆 = −5; 5 II) 𝑥 − 1 0 = 1La ecuación tiene como conjunto solución 𝐶. 𝑆 = ℝ − 1 III) 1 𝑥 − 2 = 0La ecuación tiene como conjunto solución 𝐶. 𝑆 = 𝜙 Clases de ecuaciones Por su conjunto solución 1) Ecuación compatible: Tiene al menos una solución I) Si el número de soluciones es finito, se denomina compatible determinado. 𝑥2 = 25 𝐶. 𝑆 = −5; 5 II) Si el número de soluciones es infinito, se denomina compatible indeterminado. 𝑥 − 1 0 = 1 𝐶. 𝑆 = ℝ − 1 2) Ecuación incompatible: No tiene solución. 1 𝑥 − 2 = 0 𝐶. 𝑆 = 𝜙 ECUACIONES POLINOMIALES C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ecuación polinomial Es aquella ecuación que presenta la siguiente forma general 𝑎0𝑥 𝑛 + 𝑎1𝑥 𝑛−1 + 𝑎2𝑥 𝑛−2 +⋯𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 = 0 donde: 𝑎0; 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 son los coeficientes (𝑎0 ≠ 0) 𝑥 es la incógnita El grado del polinomio determina el grado de la ecuación NOTA: Ejemplos • 3𝑥 + 2 = 0 Ecuación lineal o de primer grado • 5𝑥2 − 8𝑥 − 3 = 0 Ecuación cuadrática • 2𝑥3 + 9𝑥 − 5 = 0 Ecuación cúbica I) Ecuación lineal Llamadas ecuaciones polinomiales de primer grado. Su forma general es: 𝐴𝑥 + 𝐵 = 0 ; 𝐴 ≠ 0 Resolución Despejamos las variables en un miembro y en el otro miembro las constantes; de ahí se encuentra el valor de la variable. Ejemplo 3𝑥 + 2 = 0 3𝑥 = −2 𝑥 = − 2 3 ∴ 𝐶. 𝑆 = − 2 3 NOTA: Resolver una ecuación es encontrar su C.S C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A II) Ecuación cuadrática Llamadas ecuaciones polinomiales de segundo grado. Su forma general es: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0 Resolución 1) Por factorización: a) Se factoriza el polinomio cuadrático. b) Se utiliza el siguiente teorema. 𝑎𝑏 = 0 ↔ 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 c) Se encuentran las soluciones de la ecuación. d) Se encuentra el conjunto solución. Ejemplo 1 Resolver : 3𝑥2 + 𝑥 − 10 = 0 Resolución Factorizando 3𝑥 𝑥 −5 +2 3𝑥 − 5 𝑥 + 2 = 0 3𝑥 − 5 = 0 ∨ 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = 5 3 ∨ 𝑥 = −2 ∴ 𝐶. 𝑆 = 5 3 ;−2 3𝑥2 + 𝑥 − 10 = 0 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo 2 Resolver : Resolución 4𝑥2 − 28𝑥 + 49 = 0 4𝑥2 − 28𝑥 + 49 = 0Factorizando 2𝑥 2𝑥 −7 −7 2𝑥 − 7 2𝑥 − 7 = 0 2𝑥 − 7 = 0 ∨ 2𝑥 − 7 = 0 𝑥 = 7 2 ∨ ∴ 𝐶. 𝑆 = 7 2 𝑥 = 7 2 Ejemplo Resolver : Resolución 4𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0 4𝑥2 − 4𝑥 = 5Despejando : Se forma T.C.P +1 +1 2𝑥 − 1 2 Queda: 2𝑥 − 1 2 = 6 Teorema: 𝑥2 = 𝑎 → 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = − 𝑎 2𝑥 − 1 = 6 ∨ 2𝑥 − 1 = − 6 𝑥 = 1 + 6 2 ∨ 𝑥 = 1 − 6 2 ∴ 𝐶. 𝑆 = 1 + 6 2 ; 1 − 6 2 2) Por completación de cuadrados: C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 3) Por fórmula general: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0Tenemos: ÷ 𝑎 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 + 𝑐 𝑎 = 0 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎 Se busca un T.C.P. + 𝑏 2𝑎 2 𝑏 2𝑎 2 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎 𝑥 + 𝑏 2𝑎 2 = 𝑏2 4𝑎2 − 𝑐 𝑎 𝑥 + 𝑏 2𝑎 2 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎2 × 4𝑎 4𝑎 Teorema: 𝑥2 = 𝑎 → 𝑥 = ± 𝑎 𝑥 + 𝑏 2𝑎 = ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎2 = ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 + 𝑏 2𝑎 = ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo 1 Resolver : 2𝑥2 + 4𝑥 − 3 = 0 Resolución Tenemos 2𝑥2 + 4 𝑥 − 3 = 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Como: 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −(4) ± (4)2−4 2 −3 2(2) 𝑥 = −4 ± 16 + 24 4 = −4 ± 40 4 𝑥 = −2 ± 10 2 Luego: 𝑥1 = −2 + 10 2 ∨ 𝑥2 = −2 − 10 2 Entonces 𝐶. 𝑆 = −2 + 10 2 ; −2 − 10 2 = −4 ± 2 10 4 2 1 2 40 = 4 10 = 4 10 = 2 10 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo 2 Resolver : 3𝑥2 + 𝑥 − 10 = 0 Resolución Tenemos 3𝑥2 + 𝑥 − 10 = 01 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Como: 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −(1) ± (1)2−4 3 −10 2(3) 𝑥 = −1 ± 1 + 120 6 = −1 ± 121 6 𝑥 = −1 ± 11 6 Luego: 𝑥1 = −1 + 11 6 ∨ 𝑥2 = −1 − 11 6 𝑥1 = 10 6 ∨ 𝑥2 = −12 6 = 5 3 = −2 Entonces 𝐶. 𝑆 = 5 3 ;−2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo 3 Resolver : 9𝑥2 + 12𝑥 + 4 = 0 Resolución Tenemos 9𝑥2 + 12𝑥 + 4 = 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Como: 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −(12) ± (12)2−4 9 4 2(9) 𝑥 = −12 ± 144 − 144 18 = −12 ± 0 18 𝑥 = −12 ± 0 18 Luego: 𝑥1 = −12 + 0 18 ∨ 𝑥2 = −12 − 0 18 𝑥1 = −12 18 ∨ 𝑥2 = −12 18 = −2 3 Entonces 𝐶. 𝑆 = −2 3 = −2 3 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo 4 Resolver : 𝑥2 − 6𝑥 + 10 = 0 Resolución Tenemos 𝑥2 − 6 𝑥 + 10 = 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Como: 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −(−6) ± (−6)2−4 1 10 2(1) 𝑥 = 6 ± 36 − 40 2 = 6 ± −4 2 𝑥 = 6 ± 2𝑖 2 Luego: 𝑥1 = 6 + 2𝑖 2 ∨ 𝑥2 = 6 − 2𝑖 2 𝑥1 = 3 + 𝑖 ∨ 𝑥2 = 3 − 𝑖 Entonces 𝐶. 𝑆 = 3 + 𝑖; 3 − 𝑖 1 −4 = 4 −1 = 4 −1 = 2𝑖 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Resumen: Las raíces de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 están dadas por: 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Esto es: 𝑥1 = −𝑏 + ∆ 2𝑎 ∨ 𝑥2 = −𝑏 − ∆ 2𝑎 Donde: ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 A ∆ se le denomina discriminante NOTA: Si los coeficientes de la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 son números reales, entonces: I) Si ∆ > 0: La ecuación presenta dos raíces reales y diferentes. 𝐶. 𝑆 = 𝑥1; 𝑥2 ; 𝑥1; 𝑥2 ⊂ ℝ II) Si ∆= 0: La ecuación presenta dos raíces reales e iguales. 𝑥1 = 𝑥2 = 𝛼 𝐶. 𝑆 = 𝛼 III) Si ∆ < 0: La ecuación presenta dos raíces no reales (complejas conjugadas). 𝑥1 = 𝑚 + 𝑛𝑖 𝑥2 = 𝑚 − 𝑛𝑖; C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A II.3) Teorema de Cardano - Viette: Si 𝑥1; 𝑥2 son las raíces de la ecuación: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0 Se cumple: 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏 𝑎 Suma de raíces 𝑥1. 𝑥2 = 𝑐 𝑎 Producto de raíces NOTA: Para calcular la diferencia de raíces. 𝑥1 + 𝑥2 2 − 𝑥1 − 𝑥2 2 = 4𝑥1. 𝑥2 Ejemplo: Si 𝛼; 𝛽 son las raíces de la ecuación 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 36 = 0 tal que: 1 𝛼 + 1 𝛽 = 5 12 . Halle el valor dep. Resolución: Por el teorema de Cardano – Viette, tenemos: 𝛼 + 𝛽 = − 𝑏 𝑎 = − 𝑝 1 𝛼 + 𝛽 = −p 𝛼. 𝛽 = 𝑐 𝑎 = 36 1 𝛼. 𝛽 = 36 Como: 1 𝛼 + 1 𝛽 = 𝛼 + 𝛽 𝛼. 𝛽 5 12 = −𝑝 36 𝑝 = −15 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Raíces simétricas: Decimos que 𝑥1; 𝑥2 son raíces simétricas si 𝑥1 + 𝑥2 = 0 Teorema: Si una ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0 tiene raíces simétricas, entonces 𝑏 = 0 Ejemplo: Si la ecuación 2𝑥2 + (𝑎 − 2)𝑥 + (𝑎 + 4) = 0 tiene raíces simétricas, calcule 𝑎 Como la ecuación tiene raíces simétricas, por teorema: 𝑎 − 2 = 0 𝑎 = 2 Raíces recíprocas: Decimos que 𝑥1; 𝑥2 son raíces simétricas si 𝑥1. 𝑥2 = 1 Teorema: Si una ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0 tiene raíces simétricas, entonces 𝑎 = 𝑐 Ejemplo: Si la ecuación (2𝑛 + 3)𝑥2 + (3𝑛 − 4)𝑥 + (𝑛 + 8) = 0 tiene raíces simétricas, calcule 𝑛 Como la ecuación tiene raíces recíprocas, por teorema: 2𝑛 + 3 = 𝑛 + 8 𝑛 = 5 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A II.4) Reconstrucción de ecuación cuadrática La ecuación cuadrática cuyas raíces son 𝑥1; 𝑥2 es: 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 = 0 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑥2 𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0 S P Nos queda: 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0 Donde: 𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑃 = 𝑥1. 𝑥2 Suma de raíces Producto de raíces Ejemplo: Encuentre la ecuación cuadrática cuyas raíces son 𝑥1 = 1 + 5 ; 𝑥2= 1 − 5 Resolución: 𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 = 1 + 5 + 1 − 5 = 2 𝑃 = 𝑥1. 𝑥2 = 1 + 5 1 − 5 = 1 2 − 5 2 = −4 Tenemos: La ecuación cuadrática pedida es: 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0 𝑥2 − 2𝑥 + (−4) = 0 𝑥2 − 2𝑥 − 4 = 0 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A II.4) Ecuaciones equivalentes C U R S O D E Á L G E B R A Se llaman ecuaciones equivalentes, si sus conjuntos soluciones son iguales. Ejemplo: 2𝑥 − 10 = 0 Dadas las ecuaciones: 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0 Tenemos que: 2𝑥 − 10 = 0 𝐶. 𝑆 = 5 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0 𝑥 − 5 2 = 0 𝑥 − 5 = 0 𝐶. 𝑆 = 5 La ecuaciones son equivalentes Teorema: Si las ecuaciones 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑝 = 0 ; 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0 ;𝑚. 𝑛. 𝑝 ≠ 0 Son equivalentes, entonces 𝑎 𝑚 = 𝑏 𝑛 = 𝑐 𝑝 Ejemplo: Si las ecuaciones: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3 = 0 ∧ 2𝑥2 + 8𝑥 + 𝑐 = 0 Son equivalentes, calcule 𝑏. 𝑐 Por teorema: 1 2 = 𝑏 8 = 3 𝑐 𝑏 = 4 𝑐 = 6 𝑏. 𝑐 = 24 Tienen el mismo C.S w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
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