9 - Métodos de Ajuste de Controladores Convencionales - Gustavo Rivas

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Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Rosario 
Dpto. de Ing. Eléctrica 
Materia: Control Automático 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos de Ajuste de Controladores Convencionales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dra. Marta Basualdo 
Ajuste de controladores 
 
 
 Una vez que se ha decidido el tipo de controlador que se va a emplear en la 
estructura de control deben decidirse cuáles serán los parámetros de ajuste del mismo. 
Existen varias aproximaciones en distintas plataformas de trabajo que pueden emplearse 
pero los objetivos que conllevan todas ellas pueden resumirse en base a las siguientes 
pautas: 
 
1. rápida respuesta 
2. aniquilación del efecto de las perturbaciones 
3. insensible a los errores de modelado, mediciones etc. 
4. evitar una excesiva acción del controlador 
5. adecuado sobre un amplio rango de condiciones operativas 
Alternativas para el diseño del controlador 
1. correlaciones de ajuste - limitadas a primer orden con tiempo muerto 
2. función de transferencia a lazo cerrado - análisis de estabilidad ( lugar de las raíces o 
"root locus" - no incluye el buen desempeño del control) - " método académico " 
3. simulación repetitiva (requiere de importante tiempo computacional ) 
4. respuesta en frecuencia - estabilidad y performance (de importante tiempo 
computacional y realización de gráficos) 
5. otros 
Síntesis del controlador - Dominio Temporal 
La técnica del dominio temporal puede ser clasificada en 2 grupos: 
(a) Criterio basado en algunos puntos de la respuesta 
(b) Criterio basado en la respuesta completa, o criterio integral 
 
Aproximación (a): considera parámetros del tipo tiempo de asentamiento, % de sobrevalor, 
tiempo de subida, relación de decaimiento, etc. 
 El criterio de la relación de decaimiento igualada a ¼, mínimo tiempo para alcanzar la 
banda del ±2% y minimizar el máximo error puede implementarse fácilmente pero 
generalmente puede dar múltiples soluciones. Sin embargo, pueden adicionarse nuevas 
condiciones de forma de obtener solución única. Se han propuesto en la literatura de control 
varios métodos basados en ¼ de la relación de decaimiento tales como Cohen-Coon, 
Ziegler-Nichols 
 
Aproximación (b) 2- El criterio de la integral del error ISE, IAE o ITAE que son fácilmente 
implementables empleando algún método de integración numérica que forma parte del 
paquete de software que realiza la simulación dinámica del sistema bajo estudio. 
Teniendo en cuenta la evolución del error tanto para cambios de set point como en carga 
(perturbaciones) como se muestra en la Figura 1 
 
 
 
. 
Figura 1: evolución del error (arriba) para cambios en carga (perturbaciones), (abajo) 
cambios de set point 
 
Como puede observarse la evolución del error toma magnitudes positivas y negativas en 
ambos tipos de cambio. Por lo tanto para tener una idea realista del verdadero impacto que 
éste tiene en la respuesta se debe tomar una medida que sea independiente del signo. Luego 
los índices típicamente usados son: 
 
1. Integral del error cuadrático (ISE- Integral Square Error). Se emplea siempre que la 
magnitud del error no sea << 1 
[ ]∫
∞
=
0
2)( dtteISE (1) 
2.Integral del valor absoluto del error (IAE- Integral of Absolute value of Error). Se emplea 
con buenos resultados aún cuando la magnitud del error es << 1 
 
∫
∞
=
0
)( dtteIAE (2) 
3. Integral del valor absoluto del error ponderado en el tiempo (ITAE- Integral of Time-
weighted Absolute value of Error) . Se emplea cuando la magnitud del error es << 1 pero 
además perdura en el tiempo de forma que éste trabaja como un factor de peso variable. 
 
∫
∞
=
0
)( dttetITAE (3) 
El controlador se diseña eligiendo los parámetros que minimizan la integral de alguna 
medida de error, seleccionada de acuerdo con los criterios mencionados anteriormente. 
Las respuestas obtenidas aplicando los 3 criterios para un cambio en carga pueden verse en 
la Figura 2. 
 
Figura 2: respuestas características para cada índice de performance 
 
El IAE presenta menor sobrevalor que el ISE. El ISE presenta mayor tiempo de 
asentamiento 
El ITAE penaliza con mayor peso aquellos errores que ocurren cuando t tiende a valores 
grandes. 
En la Tabla 1 se presenta el cálculo de los parámetros de ajuste óptimos para el índice 
ITAE correlacionados con τθ ,,K para un modelo de primer orden con retardo. 
 
Tabla 1 cálculo de los parámetros de ajuste óptimos para el índice ITAE 
En la Figura 3 puede verse cómo se comporta la respuesta de un sistema de primer orden 
más retardo con los controladores ajustados por el método de óptimo ITAE cuando 
ingresan perturbaciones y salto de set point escalon. 
 
 
 Figura 3 respuesta de un sistema de primer orden más retardo con los controladores 
ajustados por el método de óptimo ITAE 
 
Reglas semiempíricas que han sido utilizadas en la práctica con buenos resultados. 
 
 En este trabajo se aplicarán los métodos de ajuste que pertenece al 3er.grupo, como 
la curva de reacción, desarrollado por Cohen y Coon (Stephanopoulos, 1988). 
 
 
Método de Cohen y Coon 
 
 Considerar un sistema a lazo abierto al que se le introduce un salto escalón de 
magnitud A en la variable de entrada u. Se registran los valores de la variable de salida “y” 
con respecto al tiempo. La curva que queda formada se la denomina curva de reacción . 
Luego entre “y” y u se establece la siguiente función de transferencia: 
 
GP = 
y(s)
u(s)
 (4) 
 
 Cohen y Coon observaron que la respuesta de numerosos procesos tenían una forma 
sigmoidal tal como se muestra en la Figura 4. 
 
 
 Figura 4: curva de reacción frente a una entrada de tipo escalon 
 
 Esta curva puede ser adecuadamente aproximada por una respuesta de primer orden 
con tiempo muerto tal como: 
GP 
- s
 = K e
 s + 1
pθ
τ
 (5) 
 
con 3 parámetros: ganancia estática Kp, tiempo muerto θp y constante de tiempo τp, la 
determinación de los mismos puede efectuarse empleando las siguientes relaciones: 
 
K = 
salida (estado estacionario)
entrada (estado estacionario) 
 = 
B
A
 (6) 
 
τ = B
S
 , siendo S la pediente de la tangente a la sigmoide en el punto de inflexión(7) 
 
θp : tiempo transcurrido hasta que responde el sistema 
 
 
Luego derivaron expresiones para los “mejores” ajustes para los controladores empleando 
varios criterios de performance 
 
 
θ τ 
 
B 
• un cuarto de la relación de decaimiento 
• mínimo error de estado estacionario 
• mínima integral del error cuadrático 
 
Los resultados de sus análisis se sintetizan en la Tabla 2: 
 
Tabla 2: parámetros para el método de Cohen Coon 
 
parámetros/ 
control 
 
 
P 
 
PI 
 
PID 
 
 
Kc 
 
 
K 
 1 + 
 P
P P
P
P
τ
θ
θ
τ3





 
 
 
 
K 
 0.9 + 
 P
P P
P
P
τ
θ
θ
τ12






 
 
 
 
K 
 
4
3
 + 
 P
P P
P
P
τ
θ
θ
τ4






 
 
ττττI 
 
---- 
 
 
30 + 3 
9 + 20 P
P
P
θ
θ τ
θ τ
/
/
P
P
 
 
 
 
32 + 6 
13 + 8 P
P
P
θ
θ τ
θ τ
/
/
P
P
 
 
 
ττττD 
 
--- 
 
--- 
 
 
11 + 2 P P
θ
θ τ
4
/ P
 
 
 
Ajuste por el método de Ziegler y Nichols: 
Existen diferentes variantes del método dependiente del dominio en que se trabaje. Por 
ejemplo si se toman los parámetros de la respuesta al escalon de acuerdo a la Figura 5 
 
 
 
 
Figura 5: determinación de los parámetros a y L para la aplicación del método de Ziegler 
Nichols 
A partir de estos datos los parámetros del controlador clásico se obtienen de la Tabla 
 
Tabla 3: parámetros de ajuste para el método de la respuesta 
al escalon de Ziegler Nichols 
 
El ajuste mediante el método de Ziegler y Nichols (Ziegler y Nichols, 1942) que 
requiere un análisisfrecuencial tal que permite estimar cuál es la ganancia límite (Ku) de 
estabilidad para el sistema a lazo cerrado con un controlador proporcional solamente. El 
período de oscilación resultante Tu se denomina también período último. En la Tabla 4 se 
presenta el ajuste original propuesto por Ziegler Nichols (Z-N), el cual representa un 
standard en la industria pero en algunas ocasiones resulta muy exigido para plantas 
químicas. Por ello en la Tabla 5 se presentan algunas modificaciones del método de Z-N 
para el controlador PID 
 
Tabla 4: método de ajuste original propuesto por Ziegler Nichols 
controlador Kc τ I τ D 
PID Ku /1.7 Tu /2 Tu /8 
PI Ku /2.2 Tu /1.2 
P Ku /2 
 
Tabla 5: modificaciones del método de Z-N para el controlador PID 
Controlador KC Iτ Dτ 
Original 0.6 KU Tu /2 Tu /8 
Algo de sobre valor 0.33 KU Tu /2 Tu /3 
Sin sobre valor 0.2 KU Tu /3 Tu /2 
 
 
En la Tabla 6 se muestra una comparación entre el ajuste original propuesto por Z-N y el de 
Cohen Coon, donde puede verse que éste último presenta valores más conservadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
controlador 
Tabla 6: Comparación entre las ecuaciones de Ziegler-Nichols y Cohen-Coon para el ajuste 
del controlador 
Controlador Ziegler-Nichols Cohen-Coon 
Proporcional ( )θτ=CKK ( ) 31+= θτCKK 
Proporcional 
+ 
Integral 
( )
( )τθτ
τ
θ
τ
33.3
9.0
=
=
i
CKK
 
( )
( )[ ]
( )τθ
τ
θθ
τ
τ
θ
τ
2.20.1
33.033.3
083.09.0
+
+
=
+=
i
CKK
 
Proporcional 
+ 
Integral 
+ 
Derivativo 
( )
( )
( )τθτ
τ
τ
θ
τ
τ
θ
τ
5.0
0.2
2.1
=
=
=
d
i
CKK
 
( )
( )[ ]
( )
( )
( )τθ
τ
θ
τ
τ
τ
θ
τ
θθ
τ
τ
θ
τ
2.00.1
37.0
813
632
270.035.1
+
=
+
+
=
+=
d
i
CKK
 
 
 
Resumen del efecto de los parámetros de ajuste 
1. KC es inversamente proporcional a KP 
2. KC decrece a medida que τ
θ crece 
3. Iτ y Dτ crecen a medida que τ
θ crece (típicamente ID ττ 25.0= ) 
4. Reducir K, cuando se agrega más acción integral; crece K, cuando se agrega más 
acción derivativa 
5. Para reducir las oscilaciones, decrece KC y crece Iτ 
 
Desventajas de las Correlaciones de ajuste 
1. Se ignoran las Interacciones (decrecen los límites de estabilidad) 
2. Los modelos de primer orden + retardo pueden se inexactos 
3. τ,PK pueden variar 
4. Los errores de medición disminuyen los márgenes de estabilidad 
5. ¼ de la relación de decaimiento puede no ser un standard conservativo (muy 
oscilatorio) 
 
 
 
 
 
 
 
 
controlador 
 Ajuste de controladores convencionales empleando la teoría de control con modelo 
interno 
 
Fundamentación 
 
El objetivo de diseño de un sistema de control es que la salida siga al setpoint en forma 
rápida y precisa. Esto implica que el controlador responda adecuadamente ante 
perturbaciones externas (buen comportamiento regulador). Además es deseable que el 
controlador sea insensible a errores de modelado. 
 
La disposión a lazo abierto mostrada en la siguiente figura es una forma óptima de 
satisfacer estas necesidades. 
 
 
Figura 6: estructura de control a lazo abierto 
 
Para un esquema a lazo abierto como el mostrado por la Figura 6, la estabilidad se logra si 
el controlador c y el sistema gp son ambos estables (estabilidad dual). El controlador 
debería ser c = gp-1 para lograr el objetivo de control y en ese caso sería y = ysp ∀ t. Las 
desventajas de este tipo de esquema son la sensitividad ante errores de modelado y la 
imposibilidad de manejar correctamente perturbaciones no medidas. 
 
Con la estructura realimentada de la Figura 7 esta situación se revierte, ya que los errores 
de modelado y las perturbaciones externas pueden ser tratadas efectivamente pero el ajuste 
es complicado debido a la estabilidad del sistema a lazo cerrado. 
 
 
Figura 7: estructura de control realimentada 
Figura 8: estructura de control realimentada con la inclusión de g% equivalente a la de la 
Figura 7 
ysp 
c gp y 
ysp c 
 gp y 
ysp 
C gp y 
g% g% 
+ 
 
- 
gc 
Donde: 
c
c
c
gg
g
c
cg
cg
 ~1
bien o
 ~1
−
=
+
=
 (8) 
 
 
Figura 9: esquema de control con modelo interno (IMC). 
 
La estructura de la Figura 9 es conocida como la de control con modelo interno (IMC). 
Eligiendo adecuadamente a la función g% la estructura del IMC adquiere propiedades muy 
importantes. Por ejemplo, si g% =gp (modelo exacto de la planta) entonces el sistema queda 
virtualmente a lazo abierto ya que la realimentación se anula y la "estabilidad a lazo 
cerrado" queda garantizada por la estabilidad de gp y gc. O sea que la sola estructura del 
IMC garantiza la estabilidad a lazo cerrado para cualquier controlador gc estable siempre 
que no existan errores de modelado. 
 
Si se elige 
 
 gc = 1g −% (9) 
 
entonces y = ysp ∀ t. 
 
Aquí debe notarse que no siempre es posible hacer esta elección, puesto que si el modelo de 
gp tiene tiempos muertos o ceros con parte real positiva entonces g% también los tendrá y gc 
= 1g −% sería predictiva (no realizable físicamente) o inestable respectivamente. Por esta 
razón, para casos como éstos el método del IMC propone realizar el diseño en 2 etapas 
Etapa 1: factorización 
 
 g g g− += ⋅% % % (10) 
 
donde el término g−% hace referencia a la parte invertible de gp y g+% es la parte no invertible. 
Se debe tener en cuenta que no existe una única forma de factorizar. Por ejemplo para 
entradas de tipo escalon resulta: 
ysp 
gc gp y 
g% 
d 
 
( ) 0)( Re ,1) s - e 
 
i
n
i
i
s - >+= ∏+ ββθg
IAEóptimo
 (11) 
0)( Re ,)
1 s 
1 s - e 
 
i
n
i i
is - >



+
+= ∏+ ββ
βθg
ISEóptimo
 (12) 
 
Luego se propone la 2da etapa que es el diseño propiamente dicho del controlador: 
 
 fgc g~ 
-1
 -= (13) 
 
r1) s (
1
+
=
ε
f (14) 
 
donde f es un filtro pasabajo y ε es la constante del filtro, r debe ser elegido de modo que gc 
sea propia o, si se permiten acciones derivativas (caso de un controlador PID ideal), de 
modo que gc tenga como máximo un cero en exceso. 
En Rivera y col. (1986) se presenta una tabla en la cual se detallan las relaciones entre los 
parámetros del modelo de la planta y ε con los correspondientes a los parámetros de ajuste 
de controladores convencionales. En la Tabla 8 se presentan algunas de las relaciones 
mostradas en el trabajo de Rivera y col (1986) 
 
Tabla 8: relaciones entre los parámetros del modelo de la planta y ε con los 
correspondientes a los parámetros de ajuste de controladores convencionales 
caso modelo
En la Tabla 9 se presentan las reglas de selección de parámetros para planta sin integrador 
β> 0, sin offset frente a cambios escalon en setpoint y perturbaciones y λ corresponde al 
parámetro ajustable del filtro , semejante a ε. 
 
Tabla 9: reglas de selección de parámetros para planta sin integrador 
Ejemplo 1: diseño de un PI 
 
Planta controlador 
 PID c/ 
 filtro 
 
Ejemplo 2: diseño de un controlador PID
 
Ejemplo 3 : diseño de PID con filtro
Ejemplo 4: compensación de tiempo muerto (PI + Predictor de Smith)
Plantas con integrador
Ejemplo 5: IMC-PID para plantas de primer orden con retardo 
 
IMC-PID reglas de ajuste para plantas de primer orden con retardo
IMC-PID efecto del parámetro del filtro para la respuesta a lazo cerrado 
 
 
 
 
 
Parámetros óptimos para el algoritmo IMC-PID para un sistema de primer orden con 
tiempo muerto