Álgebra Lineal - Friedberg - Pablo Tinoco

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Productos interiores y normas 385
También tenemos que 
( ) ( )
2 2
0 0
1 1, 1
2 2
i j j ti j x i j xe e e dt dt
π π
π π
−= =∫ ∫ = 
En ot ras palabras ( ),i j x i k x i ke e δ= 
S i consideramos a los espacios ℝ 2 y ℝ 3 , es geométr icamente ev idente que 
los conjuntos or togonales de vectores no nulos son l inealmente independientes . El 
teorema s iguiente nos d ice que es to es c ier to en cualquier espacio con producto 
in ter ior . 
Teorema 7.3. Sea V un espacio con producto in ter ior , y sea S un conjunto or togonal 
formado por vectores no nulos . Entonces S e s l inealmente independiente . 
DEMOSTRACIÓN. Sean x 1 , x 2 , …, x n , e lementos d is t in tos en S y supóngase que 
1
0
n
i i
i
a x
=
=∑ 
Entonces para cualquier j , 1 ≤ j ≤ n . 
( ) ( ) ( ) 2
1 1
0 0, , ,
n n
i i i j i i j i
i i
jx a x x a x x a x
= =
= = = =∑ ∑ 
Pues to que ( para i ≠ j , Como x ≠ 0 , tenemos que a),i jx x = 0 j = 0 . Por lo 
tanto , S es l inealmente independiente . 
Es te teorema nos d ice , por e jemplo , que e l espacio vector ia l H de l Ejemplo 
9 cont iene un conjunto independiente inf in i to y por lo tanto no es un espacio 
vector ia l d imensionalmente f in i to . 
EJERCICIOS 
1. Decir s i las s iguientes af i rmaciones son verdaderas o fa lsas . 
(a) Un producto in ter ior es una función de valor escalar dent ro del conjunto de 
pares ordenados de vectores . 
(b) Un espacio con producto in ter ior debe es ta r sobre e l campo de los números 
rea les o complejos . 
(c) Un producto in ter ior es l ineal en ambas componentes . 
(d) Exis te exactamente un producto in ter ior en e l espacio vector ia l ℝ n . La 
des igualdad del t r iángulo sólo se cumple para espacios con producto 
in ter ior d imensionalmente f in i tos . 
(e) La des igualdad del t r iangulo sólo se cumple para espacios con producto 
in ter ior d imensionalmente f in i tos . 
( f ) Todo conjunto or togonal es l inealmente independiente . 
(g) Todo conjunto or tonormal es l inealmente independiente . 
	CONTENIDO
	PRÓLOGO
	1. ESPACIOS VECTORIALES
	2. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES
	3. OPERACIONES ELEMENTALES EN MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
	4. DETERMINANTES
	5. DIAGONALIZACIÓN
	6. FORMAS CANÓNICAS
	7. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR
	APÉNDICES
	RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS
	LISTA DE SÍMBOLOS USADOS FRECUENTEMENTE
	ÍNDICE ALFABÉTICO